层状基础的动力响应分析

张 骞 张海霞

1 概述

本文基于改进的一维剪切梁模型，建立地基的控制方程，给出地基的位移和应力连续条件及边界条件，推导振型函数，得到体系的频率方程。利用振型叠加法及振型函数的正交性，运用分离变量法，求得在已知边界条件下体系的稳态解，进而得到地基与基岩的相对位移，剪应变及绝对加速度的解析表达式。但地面水平运动加速度ǜ(t)是一系列随时间变化的随机脉冲，需利用数值方法来计算地震响应。本文使用龙格—库塔法，计算得出地基的最大反应，并做出相应的最大反应图。

2 定解问题及其求解

2.1 定解问题的建立

如图1所示的水平层状地基剖面，土层分为 M层，厚度分别为 H1，H2，…，HM;密度分别为 ρ1，ρ2，…，ρM;阻尼系数分别为c1，c2，…，cM;动剪切模量分别为 G1，G2，…，GM。基岩面有一水平地震活动，加速度为ǜ(t)，各土层沿X方向的相对位移用Vj(j=1，2，…，M)表示。

由文献[1]，得到该问题的控制方程:

在定解问题式(1)～式(5)中，取 cj=0，得到无阻尼体系的自由振动控制方程及条件。设稳态解:Vj=vj(y)eiwt，hj-1≤y≤hj，j=1，2，…，M，代入式(1)，得:

根据位移、剪应力连续条件，可得:

根据递推关系，得出表层与底层间存在关系:

又根据表层与底面的边界条件，并结合式(12)，整理得到:

由式(13)的系数行列式等于零，可推出确定频率的方程:

2.2 定解问题的数学求解

利用分离变量法，可设定解问题式(1)～式(5)的解为:

将式(15)代入式(1)～式(4)，只要 cj等于同一常数 c，式(2)～式(4)恒满足，由式(1)得:

设ρj=ρ为定值，方程两边同乘以 vjmdy，沿厚度积分，并利用振型函数的正交性:

其中，aim= λiwmLi。

令 2μmwm=c/ρ，则式(18)可写为:

其中，wm为无阻尼自振频率;ηm为振型参与系数;μm为振型阻尼比。

进一步推导，可得地基土层的相对位移、剪应变及绝对加速度响应分别为:

本文利用龙格—库塔法进行数值分析，公式由文献[6]得到。

3 算例

一地基由3层不同的土组成，土层厚 H=28 m，各层参数见表1，土的密度取平均值ρ平=1 600 kg/m3，将此资料中的数据代入式(14)，编程计算得该地基的前八阶频率分别为(单位:rad/s):

w1=8.573，w2=24.476，w3=41.193，w4=57.278，w5=74.250，w6=90.267，w7=106.766，w8=123.255。

表1 某场地土的参数值

设地基土的阻尼比μ=0.01，基底输入一人工地震波，利用上述数据算得的最大反应(相对位移、剪应力、绝对加速度)见图2。

4 结语

本文在求解过程中，选取基岩面上的一点作为坐标原点，把基岩输入地震化作边界静止不动，而在计算域各点上作用着惯性力的问题进行计算，在时间域内，运用分离变量法，求解给出了基岩任意输入地震作用下的解析解。最后，对算例进行了相应的计算处理，得出地基的最大反应，并做出了相应的最大反应图。

[1] 黄 义，门玉明.结构—地基相互作用系统可靠性分析[M].西安:陕西科学技术出版社，2000.

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[4] 高玉峰，金建新，谢康和，等.成层地基一维土层地震反应解析解[J].岩土工程学报，1999，21(4):488-500.

[5] 刘延柱，陈文良，陈立群，等.振动力学[M].北京:高等教育出版社，2002.

[6] 朱伯龙，张琨联.建筑结构抗震设计原理[M].上海:同济大学出版社，1994.

[7] 张建隽，邓南沙.CFG桩复合地基性状及其设计计算研究[J].山西建筑，2008，34(4):133-135.