类比法在相似对称结构中的应用

危金菊 吴建明

类比法是根据事物的形态、属性、结构、功能以及理论的原则、形式、方法、内容，在已有知识的基础上，为进一步认识事物的一种有效的试探性的判断方法。对于“对称结构”，国内外专家、学者均有系统的论述，但对于这样一种相似对称结构[1，2]，即结构的一部分绕对称中心旋转180°与另一部分重合，研究甚少。针对这种未知的结构，本文将利用类比法，根据相似对称结构与对称结构在几何上的某种相似性，利用已知的对称结构来推导未知的相似对称结构，从而揭示相似对称结构内力和变形的基本规律。

1 结构比较——对称结构与相似对称结构

图1a)为对称结构，其上作用有对称的荷载;图1b)为对称结构，其上作用有反对称的荷载。相似对称结构呈中心对称，如图1c)，图1d)所示，结构的左半部分绕对称中心 E旋转 180°与右半部分重合。当左边的荷载绕E点旋转180°与右半部分荷载重合(大小、方向、作用点重合)时，称之为相似对称荷载[1];反之(大小重合、作用点重合、方向相反)则称之为相似反对称荷载[1]。

通过对上述图形进行比较发现，对称结构和相似对称结构不仅在几何上，而且在荷载作用上也具有相似性。鉴此，下文将采用类比法，根据对称结构的半结构法来研究相似对称结构的特性。

2 结论猜想——相似对称结构的半结构法

2.1 内力与位移的对称性

位于对称轴处的水平力和弯矩是对称的，而竖直力是反对称的。位于对称轴处的竖直位移是对称的，而水平位移和转角是反对称的。各内力和位移的对称性如表1所示。

表1 内力与位移的对称性

2.2 对称结构的半结构分析

如图2a)所示，对称结构上作用有对称的荷载。根据半结构法，位于对称轴处的E截面只有对称的内力和位移，即水平力、弯矩和竖直位移(见表1)，其余内力和位移均为零。那么该结构的另一半，即 ECD部分，可用定向支座代替，见图2b)。

2.3 内力与位移的相似对称性

如图3a)所示，O为对称中心，向右的水平力绕 O点旋转180°，与向左的水平力正好重合，则这对水平力相似对称。同理，图3b)的竖直力相似对称。由于弯矩无论怎样旋转，均不改变方向，故图3c)的弯矩相似反对称。

如图4a)所示，O为对称中心，对称中心处的水平位移 Δx可分解为左右两个位移Δx/2，根据相似对称性的定义，水平位移相似反对称。同理，竖直位移相似反对称，转角相似对称(见图4b)，图4c))。以上关于内力和位移的相似对称性如表2所示。

表2 内力与位移的相似对称性

2.4 相似对称结构的半结构猜想

可以猜想，相似对称结构在相似对称荷载作用下内力和位移相似对称;在相似反对称荷载作用下内力和位移相似反对称。因此，相似对称结构也可采用半结构的简化法。如图5a)所示，各杆刚度均相同，E为对称中心，则该结构为相似对称结构，其上作用有相似对称荷载。对称中心E处应只有相似对称的内力和位移。由表2可知，E处只有水平力、竖直力和转角，其余内力和位移均为零，则ECD部分可用固定铰支座代替，见图5b)。

3 结论证明——相似对称结构半结构法的证明

对称结构半结构法是根据力法方程来证明的。同理，相似对称结构也可以利用力法方程来证明。采用力法，对图5结构选择如图6所示的基本体系，列力法方程:

则方程(1)可简化为:

将方程(3)两边同时乘以1/2，有:

4 结语

1)类比法为研究相似对称结构的规律提供了思路，是本文的一个主要方法。2)相似对称结构在相似对称荷载作用下，其对称中心处只有相似对称的内力和位移;相似对称结构在相似反对称荷载作用下，其对称中心处只有相似反对称的内力和位移。3)相似对称结构在相似对称荷载或相似反对称荷载作用下，可以沿对称中心切开，取结构的一半进行计算，同时切口处的内力与位移按照相似对称性来判断，从而设置相应的支承。

本文的证明是针对一个例子进行的，由于相似对称结构是中心对称结构，因此可以尝试用矩阵变化的形式证明，这一点还有待研究。此外，相似对称性还可进一步扩大，如结构的某一部分绕着一点旋转任一角度与另一部分重合，这时结构的对称中心会出现怎样的变化有待进一步研究。

[1] 刘俊华，刘凤利.相似对称性在相似对称结构分析中的应用[J].开封大学学报，2007，22(1):87-91.

[2] 金恩平，柯世玲.相似对称性在相似反对称结构的应用研究[J].湘潭大学自然科学学报，2007，29(3):108-113.

[3] 包世华.结构力学(上册)[M].武汉:武汉理工大学出版社，2007.

[4] 赵更新.结构力学辅导:概念◦方法◦题解[M].北京:中国水利水电出版社，2001.

[5] 朱慈勉.结构力学(上册)[M].北京:高等教育出版社，2009.