分形理论视角下的经济数学教学实践探索

张林泉 佟松林

(广东女子职业技术学院，广东 广州 511450)

分形理论视角下的经济数学教学实践探索

张林泉 佟松林

(广东女子职业技术学院，广东 广州 511450)

在经济数学教学中，分析涉及分形背景的数学模型应用实例，体现数学建模的思想，重视数学实验和直观教学，重视数学建模,培养学生的应用能力，对转变经济数学教学方式进行有益的探讨。

分形理论；经济数学；教学方法

在经济数学教学中数学理论的学习要与经济应用实例密切结合，理论的学习尽可能以其专业相关实际背景作铺垫，同时从问题情景出发，注重多学科交叉融合，构造数学模型，重视数学实验活动和直观教学，重视数学建模以培养学生的应用能力。有利于激发学生学习兴趣，提高其学习的自主性，提高在经济学、管理学的专业领域中的数学应用能力，符合培养高素质应用型人才的需要。

一 分形内涵

分形理论是一门横断学科，从数学、振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从经济学到语言学、社会学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，等领域已广泛应用。分形理论对方法论和自然观产生重要影响，用分形的观点看世界，这个世界实际上是以分形的方式存在和演化着的世界。

（一）分形定义、分类与分形维数

1.分形定义。通常将具有某种方式的自相似性的图像或集合称为分形。所谓自相似性，就是指局部与整体相似。这类某种形式的自相似性，不只限于严格的几何自相似性，也可能是通过大量的统计而呈现出来的不很严格的自相似性。由于局部中又有其局部，而它们都是自相似的，这样整体与局部都具有无穷尽的自相似的内部结构，且在每一小局部中所包含的细节并不比整体所包含的少，所以分形是有无穷自相似嵌套性的图形或集合。

2.分形分类。分形一般分成两大类，确定性分形和随机性分形。如果算法的多次重复仍然产生同一个分形图，这种分形称之为确定性分形。确定性分形具有可重复性，即使在生成过程中可能引入了一些随机性，但最终的图形还是确定的。随机分形指的是尽管产生分形的规则是确定的，但受随机因素的影响，虽然可以使每次生成过程产生的分形具有一样的复杂度，但是形态却会有所不同。随机分形虽然也有一套规则，但是在生成过程中对随机性的引入，将使得最终的图形是不可预知的。即不同时间的两次操作产生的图形，可以具有相同的分维数，但形状可能不同，随机分形不具有可重复性。

3.分形维数。曼德尔布罗特引进了分数维，给出了一个分形集充满空间的复杂程度的描述。每个分形集都对应一个以某种方式定义的分形维数，这个维数值一般是分数的，但也有整数维的分形集。分形维数的定义有多种方法，常用的分形维数概念有三种:豪斯道夫维数、自相似维数以及盒维数[1]。

分形维数是分形理论中核心的概念与内容，它是由曼德尔布罗特为表征曲线的复杂性和处处不可微性而提出的，是刻画分形体复杂结构的主要工具，引入分形维数正是分形理论的新颖之处。应用分形理论研究自然现象最重要的问题是如何解释分形维数的意义，分形维数的意义应包括分形维数本身的几何意义和研究对象参量及其尺度变化的意义两方面，两者结合才是特定分形维数的含义[2]。

（二）分形的特征

肯尼思·法尔科内(1990)认为分形集F具有以下特征[3]:(1)F具有精细的结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。(2)F具有不规则性，使得它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。(3)F一般具有某种自相似性，可能是近似的或统计意义下的。(4)通常F的分形维数(以某种方式定义)大于它的拓扑维数。(5)在大多数令人感兴趣的情形下，F可以通过递归、迭代等简单的方式产生。(6)其大小不能用通常的测度(例如面积、长度、体积等)来度量。

（三）分形的基本性质

分形具有两个基本性质:自相似性和标度不变性。自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某种系统或结构的局域性质或局域结构与整体相似，另外在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性；所谓标度不变性，是指在分形上任选一局域，对它进行放大，得到的图形会显示出原图形的形态特征[4，5]。

二 分形知识在经济数学教学中的应用实践

我们认为经济数学教学应把培养学生的应用能力放在首位，在课堂教学中借鉴分形理论理念，探讨新的教学方法，及时将新观点融入课堂，结合典型案例将知识传授与能力培养相结合，引导学生在案例教学中能够独立分析问题、解决问题，使学生在解决实际问题过程中既体会到经济数学的实用性又获得成功的体验，从而激发学习兴趣及动力，有助于提高经济数学教学的时效性。

（一）注重数学实验和直观教学，体会形与数的统一

教师鼓励引导学生利用各种信息网络环境资源查看分形图，挖掘分形图蕴涵数学思想，领会数学的理性精神，欣赏数学的魅力，使学生从一个新的视角认识传统图形。培养训练学生自主学习策略方法，提供自主学习的空间，以满足不同层次学生学习的需要。启发学生发现分形图形所具有对称、节奏和韵律、平衡、自相似性、嵌套以及分叉、缠绕、和丰富的变换等特点，体会分形图形的对称美、简洁美、奇异美与和谐美，利用数学的美使学生心智得到陶冶。

分形图形在空间结构上体现传统艺术形态中的对称形式，分形图形具有一种局部和更大的局部、或者是局部和整体的对称，具有无限精细的结构层次，在自相似的递归结构中，无论是在哪一个层次的局部都保持整体的基本形态，获得整个图形的和谐、秩序与均衡。分形树、谢尔宾斯基三角形和经典的曼德尔布罗特集等就是具有自相似特性的典型分形图形。这种自相似性也可以从复映射 z → z2+c的经典M集的逐步放大得到，启发学生积极主动地去体验探索、发现和创新，利用Matlab等软件，改变常数c的取值，可以得到各式各样的Julia集。通过实验增强了学生的实践动手能力，调动了学生全身心地投入到思考、讨论、探究、解决问题的学习活动中，提高了学习效率。

（二）注重数学建模，运用案例教学法培养学生应用能力

在教学活动中创设数学问题情境，引入涉及有实际背景、理论背景及意义的分形数学模型，结合实例充分考虑教学目标、教学内容及其内在特点，适度运用案例、启发、探讨式的教学，可以体现数学建模的思想，帮助学生认识到分形的实际应用价值，从而激发学生学习兴趣。在教师指导下学生自己动手，查找资料，分析归纳，得出结论，促使学生在教师指导下的自主学习过程中体会数学思维。

国内外研究成果表明，城镇体系的人口及经济规模的等级分布符合一些数学模型，如 Pareto分布模型及 G.K.Zipf的等级规模分布模型等，这些数学模型为城镇体系的分析与规划提供了科学依据。Zipf(1949)把自己发现的规律应用于城市人口、企业收入等现象，研究这些数量跟等级的关系。在其出版的《人类行为与最小努力原则-人类生态学引论》中，他进一步扩展了视野，讨论了人类社会的众多社会、文化现象及自然现象。根据前人的研究成果提出了一个通用的城市规模分布法则(Zipf法则)[6]，与豪斯道夫维数公式进行类比可知，Zipf法则服从幂定律，为一分形模型，参数Zipf指数具有分维性质，它是分维的倒数。通过作对数变换，由于幂函数关系等价于对数线性关系，所以，只要双对数坐标图上的位序-规模数据点的直线关系成立或者部分成立，即可判定分形的存在，直线上点的范围即为无特征尺度的区域，做出散点图，进行线性回归拟合可求出其城镇体系规模结构的分维数。

我们从不同的角度去引进新的方法和新的思维以推动数学经济教学的实用性，而分形理论提供了一种全新的教学理念、教学形态和教学追求。

结 语

综上所述，分形是结构的深化，正是分形理论的提出和应用使人们以比从前更深刻更准确的方式方法去认知世界，为人们认识世界提供了新视角和新思路。教师应不断吸纳新的教学理念和方法，在经济数学教学中有机地把数学、经济应用和现代教育技术结合起来，注重数学建模和数学实验，着重引进应用型实例，启发培养学生独立自主地去思考、探索、解决问题的能力，以利于促进学生的全面发展。

[1]杨展如,郝柏林.分形物理学[M].上海:上海科技教育出版社,1996.

[2]谢和平,薛秀谦.分形应用中的数学基础与方法[M].北京:科学出版社,1997.

[3]肯尼恩·法尔科内(曾文曲,刘世耀译).分形几何-数学基础及其应用[M].沈阳:东北大学出版社,1991.

[4]孙霞,吴自勤,黄畇.分形原理及应用[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2003.

[5]张济忠.分形[M].北京:清华大学出版社,1995.

[6]Zipf,G.K.Human Behavior and the Principle of Least Effort:An Introduction to Human Ecology [M].Cambridge, Mass: Addison-Wesley Press, INC,1949.

（责任编校：燕廉奚）

G642

A

1673-2219（2010）08-0003-02

2010－03－10

张林泉(1965－)，男，广东化州人，广东女子职业技术学院讲师，硕士，主要从事数学教学、应用数学研究。佟松林（1969－），男，辽宁朝阳人，广东女子职业技术学院讲师，美国奥斯特大学MBA硕士，研究方向为电子商务与网络金融理论。