一种新的聚焦类宽带DOA估计算法*

曹金亮,刘志文,徐友根

(北京理工大学信息与电子学院,北京 100081)

1 引言

空间信号DOA估计一直是阵列处理研究的一个重要问题。随着跳频、扩频、线性调频信号等宽带信号的广泛应用,宽带信号的检测和定位越来越受到人们关注。目前,宽带信号DOA估计算法主要有最大似然方法(M LM)和信号子空间方法(SSM)两类。M LM运算量极大,难以具体实现[1-2]。SSM具有相对小的计算量和较高的分辨率,因而更受关注。

SSM最初是由Schm idt[3]等人针对窄带信号提出的,宽带源模型下导向矢量依赖于频率参量,一般是通过DFT或窄带带通滤波器组将宽带信号分解为多个窄带信号,再进行处理。按照处理方式的不同,SSM可分为基于不相干(ISM)[4]和基于相干(CSM)[5]两类。

随着研究的深入,人们提出了更多宽带DOA估计算法,这些算法的贡献主要体现在消除预估计[6-7]、提高估计性能[8-11]以及减小运算量[12]等几个方面。其中有不少算法与最初的CSM方法一样都属于聚焦类算法,这些算法给出了不同的聚焦矩阵构造方法。文献[10]提出了RSS方法,文献[11]表明RSS方法是SST方法的一个特例,文献[12]提出了M TLS方法,并且指出M TLS方法比RSS和SST有更小的运算量。众所周知,实时性在通信、雷达、声纳等应用领域中是至关重要的,因而如何大幅度减小运算量同时兼顾估计精度就成为实际应用中面临的重要问题。

本文通过对导向矢量矩阵的初等变换来构造聚焦矩阵,并利用信号子空间和噪声子空间的正交性得到一种简化的聚焦矩阵构造方法。

2 频域信号模型

式中,sp为第p个源信号,nm(t)为第m个阵元上的噪声,τm(θp)为第p个信号源到达第m个阵元相对于到达参考阵元的时延。假定nm(t)与入射信号不相关,且在时域和空域均为白噪声。假定观测时间足够长,第m个阵元输出的离散时间傅里叶变换(DTFT)为:

实际处理时是对采样信号进行DFT(假设为J点),从而把宽带信号分解成多个窄带信号,写成矢量形式为:

式中x(ωj)和n(ωj)分别为M×1维阵列输出矢量和噪声矢量,s(ωj)为P×1维信号矢量。A(ωj,θ)是M×P维导向矢量矩阵,其第p个列矢量为:

对于均匀线阵,τm(θp)=(m-1)d sinθp/c,其中d为阵元间距,c为信号传播速度。为描述方便,将式(3)简写为:

频率ωj处的数据协方差矩阵为:

式中,Sj=E[sjs]。如果P个信号源不相关,则P×P矩阵S j满秩,通过特征值分解可以得到信号子空间F j和噪声子空间W j为:

式中,y j,1,…,y j,M是相互正交的特征矢量,对应于降序排列的各特征值。另外,由子空间类方法可知,Fj与A j(θ)张成的空间相同。

3 宽带聚焦算法

宽带信号的导向矢量依赖于频率,每一频率点所对应的导向矢量矩阵是不同的。CSM方法的中心问题是构造J个聚焦矩阵,把不同频率点对应的导向矢量矩阵聚焦到某一参考频率ω0处,即:

聚焦后的数据协方差矩阵为:

式中,αj是正比于SNR的加权系数,不失一般性,在后面仿真中假定αj=1。对聚焦后的协方差矩阵运用窄带子空间类方法,如MUSIC算法,就可以实现对宽带源的DOA估计。在实际情况下,各频率点数据协方差矩阵以及聚焦后的协方差矩阵只能通过估计得到:

由上文可知,聚焦的目的是找到矩阵T j,使得(9)式成立,那么聚焦类算法的关键就在于聚焦矩阵的选取,不同算法Tj的构造方法也不同。为表述方便,以下将A j(θ)和A0(θ)分别简写为A j和A0。

文献[10]构造聚焦矩阵的公式为:

式中‖◦‖F表示二范数,对(13)式进行求解,可得

RSS聚焦矩阵为:

式中Uj和Vj分别为AjA的左右奇异矢量。文献[10]表明,当聚焦矩阵为酉矩阵时,聚焦前后无信噪比损失。

文献[12]给出了一种修正总体最小二乘聚焦算法,该方法通过矩阵极分解来构造聚焦矩阵,最终的聚焦矩阵表达式为:

文献[12]还指出,M TLS方法由于在构造聚焦矩阵时不需要矩阵分解运算,因而比其它聚焦类算法有着更小的运算复杂度。

4 基于矩阵初等变换的新算法

由于每一频率点对应的导向矢量矩阵都是列满秩的,即rank(A j(θ))=P,j=1,…,J,由矩阵分析理论知,存在M×M维满秩矩阵Q j和Q0,使得

式中I P×P和O(M-P)×P分别为单位矩阵和零矩阵。因为Q0满秩,故其逆矩阵存在,可得:

对比(17)和(9)式,显然可以取T j=Q0-1Q j,所以聚焦矩阵的构造问题,就转化为确定两个初等变换矩阵Q j和Q0的问题,下面讨论如何确定Q j和Q0。

令Q j=[QTj1 QTj2]T,Q j1、Q j2分别为P×M和(MP)×M维矩阵,由(16)式得,Q j1 A j=I,Q j2 A j=O。根据上述关系,可以取

式中W j为式(8)所示的噪声子空间。由于导向矢量矩阵与信号子空间张成空间是同一空间,并且信号子空间正交于噪声子空间,可得:

同理构造Q0,并得到其逆矩阵Q=[A0W0],此时聚焦矩阵为:

实际中是应用聚焦矩阵Tj对频域接收数据进行变换,对于无噪频域数据x j=A j s j,得:

则在构造聚焦矩阵的过程中避免了特征分解。理论上,此时有T j A j=A0,称之为完美聚焦,但实际中真实DOA是需要估计的量,T j的构造只能根据不太精确的DOA预估计值,即:

所以T j A j和A0不一定完全相等,但是可以通过迭代使不断接近真实DOA值θ,从而逐渐实现完美聚焦。由(22)式得rank(T j)=P,实际中由简单方法(如CBF)得到DOA预估计值,可以通过在估计值附近加入几个角度值来构造聚焦矩阵,此时rank(T j)=P,为用于构造T j的角度数目,一般取P≤＜M。

对比(15)和(22)两式,可以看出在构造聚焦矩阵时,新方法比M TLS方法有更小的运算量。如果按照(20)构造聚焦矩阵,由式(10)可得,聚焦后数据协方差矩阵的噪声项为:

如果根据(22)式构造聚焦矩阵,得:

这说明(22)式的聚焦矩阵能更好地抑制噪声,从而有利于提高DOA估计性能。

综上所述,本文算法流程如下:①应用常规波束形成法进行预估计,在估计值附近再增加几个值,得接收数据进行分段,通过DFT得到每一频点下的阵列采样数据;③按照式(22)构造聚焦矩阵Tj;④根据式(10)得到聚焦后的协方差矩阵R;⑤应用MUSIC等阵列处理高分辨算法获得DOA估计;⑥为了提高性能,可以重复步骤③～⑤,直到满足设定的估计精度或终止条件。

5 计算机仿真及性能分析

设置仿真条件如下:8阵元均匀线阵(ULA),阵元间距为信号中心频率对应波长的一半。信号源为不相关的高斯平稳随机信号,DOA为0°、20°,中心频率均为300H z,相对带宽均为66.7%,采样频率为1kH z,信号观测时间为6.4s,分为100段,蒙特卡洛仿真次数为100。信噪比定义为单个阵元上单个信号与噪声的功率之比,仿真中信噪比范围为0dB～30dB。

为验证本文算法的有效性,实验一对RSS法、M TLS法和本文方法进行了仿真。图1给出了三种算法DOA估计偏差和均方根误差(RMSE)随信噪比的变化曲线。由图1(a)～(b)可以看出三种算法都有着不错的估计偏差性能(偏差绝对值都在0.06°以内),相比较而言新方法偏差最小,且随着信噪比的增加呈减小趋势,RSS和M TLS法的偏差随信噪比的变化趋势并不明显。由图1(c)～(d)可以看出本文方法有着最优的均方根误差性能。

为了检验新算法对邻近信号源的分辨能力,在实验二中增加信号源个数并减小角度间隔,取真实DOA为0°、4°、12°,同时增加阵元个数到16,其余仿真条件

图1 三种算法的DOA估计性能比较(两个信号源)

图2 三种算法的DOA估计性能比较(三个信号源)

为了检验新算法对邻近信号源的分辨能力,在实验二中增加信号源个数并减小角度间隔,取真实DOA为0°、4°、12°,同时增加阵元个数到16,其余仿真条件同实验一。图2给出了三种算法的偏差和均方根误差随信噪比的变化曲线。对比实验一和实验二的仿真结果可以看出,三种算法对邻近信号源(尤其是0°和4°处的信号源)的估计性能都有所下降。这是一个可以预料的结果,因为对于邻近信号源,常规波束形成法带来的预估计误差会比较大,从而使最终的估计性能下降。还可以看出RSS方法和M TLS方法受预估计误差的影响比较大,两种方法的偏差和均方根误差随信噪比的增大而减小的趋势并不明显。而本文方法对预估计误差的鲁棒性更好,随着信噪比的增大,DOA估计偏差和均方根误差都趋于零。

6 结束语

本文基于对导向矢量矩阵的初等变换,给出了一种宽带源DOA估计新方法,该算法在构造聚焦矩阵的过程中不需要特征分解,从而大大提高了运算效率。理论分析表明,相对于RSS和M TLS等聚焦类算法,本文算法聚焦矩阵的构造运算量更小,为宽带源测向的工程应用提供了更好的理论基础;另外,仿真实验表明,相对于RSS和MTLS算法,本文方法在DOA估计偏差和均方根误差方面有着更优的性能。■

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