基于OpenGL 的相贯线切割轨迹的建模与仿真

赵 龙 ， 郭艳玲

（1.农业部渔业装备与工程重点开放实验室，上海 200092； 2. 中国水产科学研究院渔业机械仪器研究所，上海 200092； 3. 东北林业大学机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150040）

在建筑、机械、石油、化工等领域经常会遇到大量管类零件之间相互拼接的情况，如压力容器的生产、建筑用桁架以及海洋平台加工制造过程中经常遇到的肘管等[1]。在这种情况下，相贯线切割机成为了科技人员研究的主要对象，而在相贯线切割机的研究过程中，对于相贯线轨迹的研究则成为其研究的前提和重点。

目前在相贯孔加工过程中仍然有许多工厂采用先放样制作样板，再绘制相贯线进行手工切割，最后用人工打磨的工艺方法对钢管实施加 工[2]。这种方法的缺点是工作强度大，效率低，难以保证切割后焊接的性能与质量。针对这一问题，通过可视化编程来实现具有变角度坡口切割轨迹的仿真显得十分必要。

1 相贯线数学模型的建立

为了展开对相贯线轨迹的研究，建立一个行之有效的数学模型至关重要。如图1 所示，已知两圆管偏心倾斜相交，倾斜角为θ，偏心距为e，R 和r 分别表示主管和支管的半径，其中R＞r。

图1 相贯线数学模型

由于圆管本身存在一定的对称性，因此从这一思路出发，可以通过极坐标来描述相贯线方 程[3]。于是，从x 或x1正方向看，相贯线在空间中的方程（即相贯线上任意一点M 的方程）可以表示为

其中 φ为支管上节点M 的圆周角，范围为0°～360°。

根据空间解析几何学可知[4]，Oxyz 坐标系与Ox1y1z1坐标系之间存在以下变换关系

于是联立方程（1）、（2），可以得出两圆柱相贯线上各个节点的参数方程为

2 接头类型及坡口角度的研究

2.1 相贯接头的类型

钢管在各种工程领域中的应用十分广泛，由于不同领域对钢管的要求有所不同，因此存在着多种形式和规格的相贯接头。一般来说，钢管在使用过程中主要承受载荷和内压。对于前者而言，主管不需要开孔，支管采用骑座式的相贯接头，俗称马鞍形相贯接头，其中支管内壁和主管外壁相贯；而对于后者而言，通常采用插入式相贯接头，需要在主管上切割出焊接坡口，如图2所示。

图2 接头类型示意图

2.2 坡口角度的比较和分析

管子在切割时，为了保证焊接的质量和可靠性，需要预留出一定角度的坡口，有定角度坡口和变角度坡口之分。所谓定角度坡口指的就是在切割过程中，支管上各个相贯节点处的素线与支管轴线始终保持一定数值的角度。然而实践证明，定角度坡口仅仅适用于两管垂直对心相交或者是各个节点处的二面角都比较大的情况。因为，二面角比较大，切割出来的坡口则可能过小；而二面角比较小，切割出来的坡口则可能过大。这样就会大大影响切割后焊接的质量和可靠性，同时对于壁厚不大的钢管来说，在切割时甚至会熔断部分坡口，导致焊接无法正常进行。所谓变角度坡口指的是在整个切割过程中，各个节点处的切割角（当相贯接头为插入式时，切割角等于坡口角）始终随着二面角的变化而变化，这样切割出的坡口既均匀又可靠。当然，无论是定角度坡口还是变角度坡口，都应该尽量避免极限切割，因为在这一切割过程中，局部节点处的坡口角变化剧烈，切割后会大大降低焊接的质量和稳定性。

2.3 坡口角度的计算

在研究完相贯线以后，为了进一步研究切割时的运动规律，还需要对切割过程中的坡口进行相应的研究。由于在研究坡口时，必须先确定钢管相贯接头的空间几何关系，因此需要对有关参考平面和空间几何角度加以定义。以骑座式相贯接头为例，针对管端切割给出了相关参数的具体定义，如图3 所示。

（1） 主管轴剖面Pm

相贯线上任选点的主管轴剖面，是通过该点并包含主管轴线的平面。

（2） 支管轴剖面Pb

相贯线上任选点的支管轴剖面，是通过该点并包含支管轴线的平面。

（3） 主切面Qm

相贯线上任选点的主切面是过该点并切于主管表面的平面。

（4） 支切面Qb

相贯线上任选点的支切面是过该点并切于支管内表面的平面(注：考虑到绘图效果，在表达Qb时可能会引起误解，望请读者见谅)。

（5） 法剖面Pf及其方向向量nf

相贯线上任选点的法剖面是过该点并垂直于两轴剖面的平面，方向向量nf通过点M 且垂直于法剖面Pf。

（6） 法向量nm、nb和坡口向量np

法向量nm、nb分别为过点M 且垂直于切平面Qm、Qb的向量，坡口向量np指定了切割时割炬所在的位置方向。

（7） 二面角Ф

二面角Ф 是主切面Qm和支切面Qb在法剖面内且位于支管外部的夹角。

（8） 坡口角ϕ 以及理论切割角ω

对于管端切割来说，坡口角ϕ 指的是坡口向量np与主切面Qm之间的夹角，而理论切割角ω则是坡口向量np与支切面Qb之间的夹角；对于主管开孔来说，坡口角ϕ 指的是坡口向量np与支切面Qb之间的夹角，而理论切割角ω 则是坡口向量np与主切面Qm之间的夹角。二者的大小取决于二面角Ф 的大小。

根据美国石油协会标准规定，当二面角Ф≥90°时，坡口角ϕ=45°；当二面角Ф＜90°时，坡口角ϕ=Ф/2。

为求解坡口角ϕ ，必须首先计算出向量nm(am, bm, cm)和nb(ab, bb, cb)之间的夹角θ。由线性代数学[5]可知，θ 满足如下方程

根据互补原理，通过夹角θ 可以求出二面角Ф 的大小，进而可以求出点M 处的坡口角ϕ 和理论切割角ω。如图3 所示，二者满足

图3 相贯体空间几何关系

其次，还需要计算割炬在运动过程中的实际切割角ρ，即割炬在旋转平面内的倾斜角。如图4，它在数值上满足

图4 二面角、实际切割角和坡口角之间的关系

再次，为了进行计算机仿真，还需要确定坡口向量np的大小。由于坡口向量的计算有赖于向量nm、np之间的夹角α 和向量nb、np之间的夹角β 的大小，因此需要对二者展开计算。

图5 给出了坡口向量求解过程中各个夹角之间的关系，该关系满足

图5 向量夹角示意图

这样，在求出向量nm、nb的向量积nf(af,bf,cf)以后就可以通过夹角α 和β 以及向量np、nf相互垂直等条件推导出如下方程

通过上述方程求出坡口向量np(ap, bp, cp)后，就可以通过点M 处的坐标计算出过点M 且方向向量为np的直线方程从而求出主管外表面上对应的坡口节点，为坡口轨迹的仿真创造了重要前提。

3 轨迹的仿真

在仿真过程中，需要在VC++所提供的开发环境下借助于开放式图形语言OpenGL 和相应数学模型来完成仿真程序的编写。

3.1 OpenGL 渲染机制

了解OpenGL 渲染机制是利用OpenGL 实现具体仿真的重要前提。大多数OpenGL 实现都使用相似的操作顺序，这些处理步骤被称为OpenGL 渲染流水线[6]。当应用程序对OpenGL所提供的API 函数进行调用时，这些命令被放置在一个命令缓冲区中，为了避免只有当缓冲区满时才去对所有的绘图命令、顶点数据和纹理数据进行处理，需要调用glFinish()来强制完成对相应场景的渲染。

3.2 仿真算法的研究以及坡口轨迹的仿真

两管之间的位置关系确定以后，需要在主管上体现出具有真实感的坡口。与CSG 造型方法不同的是，OpenGL 并不是通过基本体素以及施加在其上的几何变换、布尔运算和局部修改等方法来构造空间实体的，而是通过自身所提供的点、线、面等一些基本图元按照一定的方式和顺序进行排列和组合从而完成三维实体的构造。虽然CSG 在构造三维实体时简单易用，灵活多变，但是由于这种构造方式建立在充分利用图形硬件的深度缓存和模板缓存的机理之上，在整个渲染过程中，并没有对CSG 模型的几何边界进行有效的计算，因此无法通过CSG 造型的方式来获取相贯线坡口上的每一个节点的数据。而OpenGL 恰恰相反，它是利用预先生成的一系列数据点通过不同方式的组合来构造所需的实体。这样不仅保证了所需模型的准确构造，而且还可以通过这些数据点实现相贯线轨迹的仿真加工。

为了进行相贯线仿真算法的研究，这里以支管外壁与主管内壁之间的相贯线为研究对象，如图6 所示。

图6 内相贯线边界划分图

其中左边界、左内边界、右边界和右内边界全部分布在主管内壁所在的圆周上。从左边界和左内边界开始，顺次在两条边界上对应取点，每隔两对节点就可以形成一个四边形，于是在这两条边界上就充满了一组空间四边形，通过向glBegin()函数传递参数QL_QUAD_STRIP 的方式来指定特定的填充图元完成对这些四边形的渲染，从而形成一个均匀的四边形空间曲面片。该曲面只是位于主管内壁圆周上的一部分，为了绘制一个完整的圆周还需要对主管上余下的柱面进行绘制。如图6 所示，设最前点M1的坐标为(x1, y1, z1)，最后点M2的坐标为(x2, y2, z2)，于是生成的曲面在主管内壁上跨越的圆周角θ 满足下列关系式

因此，剩余边界上的任意一点M(x,y,z)满足方程

其中 R 为主管内壁圆周半径，任意一点M 上的z 坐标分别与左右边界上的z 值相同，圆周角r的范围为β～(360－α)。

为了构造相应的坡口曲面，需要从分别位于主管内外壁上的内边界开始顺次取点，然后进行相应的渲染从而完成坡口曲面的绘制。

3.3 坡口轨迹的仿真

基于以上对仿真算法的研究，编程实现其功能后生成的坡口模型如图7 所示。

图7 多管相贯孔线框模型

如上节所述，此时看到的还是一个不完整的模型，它由线框和空间曲面组成。为了表达一个完整的三维模型，还需要增加一些辅助的表面，如位于主管两端的环形表面、主管的内外圆柱面、以及阵列孔之间的柱面等。同时，由于在OpenGL 中为了生成具有真实感的三维模型，还需要对建立的模型进行特殊的光照处理。因此，在通过数学模型创建一系列数据点并依靠这些数据点去构造某种图元时，需要为每一个顶点数据指定法向并为相应图元指定具体的明暗处理。相关代码如下：

运行程序，分别选择菜单 View 下的Intersection Show 和Groove Show 以显示没有坡口的相贯线孔和带有坡口的相贯线孔，如图8 所示。

图8 仿真效果图

4 结 束 语

本文从钢管切割过程中的实际问题出发，紧紧围绕切割时如何预留出一定角度的坡口这一问题，比较和分析了定角度坡口和变角度坡口的适用条件及特点，建立了相贯线的一般数学模型，并参照美国石油协会标准给出了任意节点处的坡口角度的计算方法，最后利用 VC++和OpenGL 等语言完成了程序的编写，实现了具有变角度坡口轨迹的仿真。结果证明：仿真算法切实可行，仿真出来的坡口完全符合美国石油协会规范中的要求。

[1] 肖会军, 黄 健. 一种复杂圆柱相贯线的数控切割原理[J]. 机床与液压, 2003, (4)： 254.

[2] 王国栋, 阎祥安, 等. 管端相贯线坡口切割割炬位姿控制[J]. 天津大学学报, 2005, 38(8)： 684.

[3] John M Stockie. The geometry of intersecting tubes applied to controlling a robotic welding torch [J]. Mapel Tech, 1998, 19(2)： 2.

[4] 朱鼎勋. 空间解析几何学[M]. 武汉： 武汉大学出版社, 2006. 195.

[5] 郑宝东. 线性代数与空间解析几何[M]. 北京： 高等教育出版社, 2001. 74.

[6] [美]Richard S Wright, Jr Micheal Sweet. OpenGL 超级宝典[M]. 徐波译. 北京： 人民邮电出版社, 2005. 24.