抛物面梯度可视化研究

刘小羊， 林大钧， 郑鹏飞， 吴志庭

（华东理工大学机械与动力工程学院，上海 200237）

工程中，有关数量场各点的温度和压力变化趋势可以归结为求解各点处的梯度。梯度与方向导数以及数量场等值面之间存在一种比较理想的关系，这就使得梯度成为研究数量场时的一个重要概念。曲面梯度的求解一般是通过求曲面函数的偏导数得到的，其结果比较抽象。本文利用画法几何原理，用作图方式求解曲面梯度，再通过计算机编程实现梯度的图形显示，使抽象问题形象化，对处理相关工程数量场的优化问题具有重要的意义。

1 抛物面梯度的数学表达

2 抛物面梯度的图解[1]

可知：曲面上某点的梯度是该点的切平面上H 面最大斜度线对H 面倾角的正切而其最大斜度线的水平投影即为梯度方向。

2.1 抛物面上一点处切平面的几何作图[2]

图1 正平面截切抛物面

2.2 梯度求解

根据梯度的图解原理知道它是最大斜度线对H面倾角的正切。求解曲面上某点梯度需求出该点切平面对H面的最大斜度线。因切平面对H面的最大斜度线垂直于该面内水平线。按照这个 定义可以作出旋转抛物面上 Pa( xa， ya， za)点处的切平面的最大斜度线，如图2所示。

先作水平线Q1M。过作m ′平行于x轴，根据已知条件求得m′点x，z坐标为。 利用画法几何原理作图得到M点的H面投影m。它的y坐标可以根据其所在的切平面的方程求出。抛物面在Pa点处切平面的法向量为，利用点法式求出其切平面方程为，将ax ，代入求得 y 坐 标， 得 到 点。

可见图解方法和用数学方法得到的结果相同。而图形求解过程更具直观性。

图2 旋转抛物面梯度图解

3 梯度可视化程序的实现[3]

图 3 椭圆抛物面梯度图解

图 4 双曲抛物面梯度图解

图 5 程序流程图

图 6 程序界面

当p=q=2，输入旋转抛物面上的点(2, 2, 4)，得到它们的梯度，如图7所示。同理，双曲抛物面梯度显示如图8所示。

4 应用举例[4-5]

图 7 旋转抛物面梯度

图 8 双曲抛物面梯度

图 9 椭圆抛物面梯度

5 结论与展望

综上所述，通过形、数、计算机三者的结合，不仅使梯度的求解变得形象化，而且能够迅速准确地解决工程数量场的一些问题。本文仅研究了抛物面这类曲面的梯度图解，对自由曲面梯度的图解有待进一步研究。

参考文献

[1] 林大钧. 平面场的梯度图解方法与应用[J]. 华东理工大学学报, 1998, 24(1)： 87-91.

[2] 张 卯. 二次曲面上一点处切平面的几何画法[J]. 周口师范学院学报, 2004, 21(2)： 26-27.

[3] 魏崇光, 等. AutoCAD及二次开发[M]. 北京： 化学工业出版社, 2001. 177-186.

[4] 刘双表. 表面变形计算的椭圆抛物面法[J]. 摩擦学学报, 1995, 15(1)： 68-74.

[5] 陈晓阳, 等. 三维接触压力分布的近似切平面拟合方法[J]. 浙江大学学报, 1994, 28(2)： 240-241.