奥林匹克数学竞赛题的解题思维

陈方杰

摘要:奥林匹克数学竞赛题相对于一般数学题而言,更侧重考查学生对知识的综合运用能力和解题思维能力,题目相对偏难一些。要解答奥林匹克数学竞赛题,不仅要有牢固的知识做基础,还必须选择一个好的解题方法。那么,在解题的时候如何展开思维、如何来寻找这些解题方法即采取什么样的解题思维策略来分析题目,进而找到解题思路,提出解题方案;奥林匹克数学竞赛解题思维过程又是怎么展开的呢?本文我们就来探讨一下。

关键词:奥林匹克;数学竞赛;思维活动;解题规律

在奥林匹克数学竞赛中为解答试题所进行的思维活动称为奥林匹克数学竞赛题的解题思维。通过对思维的分析可知:奥林匹克数学竞赛的解题思维是以逻辑思维为主的创造性的思维活动,奥林匹克数学竞赛题的解决过程是一个创造性的解题思维过程。

在解题时,通常要对题目所给的条件与结论进行联系、分析,以找到利用什么知识、选用什么方法来解答问题,然后对问题进行剖析,对各种信息进行筛选、加工和重组,从而创造利用知识和方法的条件,这种复杂的、富有创造性的思维过程就是解题思维过程[1]。在数学学习心理学中,问题解决一般理解为一种操作过程或心理过程。问题解决又称解决问题,是一系列有目的、有指向的认知操作过程,是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程[2]。具体地说,数学问题解决是从对问题初始状态的阅读开始,经过一系列的心理操作达到问题目标状态结果。在这一系列心理操作过程中,问题解决者必须根据问题所给的信息找到问题的当前状态和目标状态之间的差异,并采取一定的思维策略找出解决问题的方案。

对问题解决的思维过程,许多专家和学者进行了研究。杜威早在1910年就提出了问题解决的五个阶段:感觉疑难、确定疑难、提出可能的答案、考虑各种结果、选择解答方法。波利亚在1957年根据问题的解决思路提出了“怎样解题”表,把数学的解题过程分为弄清问题、拟订计划、实现计划和回顾解答四个部分。著名心理学教授Zelazo对问题解决的思维过程也进行了深入分析,他把问题解决的思维过程划分为时间上和功能上不同的几个阶段:问题表征阶段、解题计划制定阶段、执行拟订计划阶段、解题过程的评价阶段。其中执行计划阶段又包括意向形成和推理规则使用两个子步骤,解题过程评价阶段又包括错误觉察和错误修正两个子步骤[3]。

我国数学教育界不少专家和学者对数学问题的解决也都有着积极的探索,并提出了解决的模式。曹才翰等人认为问题解决的模式为[4]:①问题情景;②问题转换;③寻求解法;④求得解答。傅敏等人提出如下思维过程[5]:①呈现问题;②分析问题;③联系;④行为选择;⑤检验。尽管以上这些对问题解决过程的观点的描述各有所异,但总体来看,我们会发现解题始终遵循着从对问题的理解出发、明确解题方向、寻找解题策略、达到解题目的和回顾题解这一过程规律。奥林匹克数学竞赛解题过程是一种特殊的问题解决思维过程。根据奥林匹克数学竞赛题的特点,在前人研究的基础上,从教育心理学的认知观点着手,我们可以将奥林匹克数学竞赛解题的思维过程分为问题表征、解析问题、解决问题、解题监控和题后反思五个阶段。

一、问题表征

问题表征指形成问题空间,包括明确问题的初始状态、目标状态及允许的操作[6]。问题的表征也就是审题,在这个思维阶段中,观察和表象占很大的比重。解题者首先通过读题对问题进行字面理解,用自己的话重新表述问题,把问题的文字和符号等信息转化为解题者内部的心理表征。并在此基础上,对问题进一步深入理解,审清题目的结构,判别题目的类型,区分题目中的有关信息和无关信息。通过对问题正确的表征,能弄清题目所要求的结论是什么,为解题的思维指明方向。对题目的条件进行罗列,发掘隐含条件,根据解题的目标方向,来发现可用的条件。问题表征是否正确对高中数学竞赛解题是很重要的,它为后面的解题思维过程打下了基础,如果一个问题得到了正确表征,那么可以说问题已解决了一半[7]。

二、解析问题

解析问题即分析和理解问题。在这个阶段,解题者要对问题所包含的信息和本身已储存的知识信息进行主动的加工,通过这种加工进而认识问题的起始状态与目标状态,并判断是否有现成的解题途径。个体的知识和解题经验影响着解题者对问题的理解。实际上,在解析奥林匹克数学竞赛题时,解题者是在审题的基础上对问题给出的条件和结论仔细地分析,结合已有的知识和解题经验进行思考,以找到切入点,理清解题思路,设计出解题方案。

问题的解析是一个循环往复的过程,对问题的理解产生对应的解题方案,执行解题方案的过程中则不断地改变问题的起始状态或目标状态[8]。通过对题目当前状态所含信息的反馈,解题者会联系目标状态,发现题目中各个部分的差异,然后更加深入地理解分析问题,找到条件和结论存在的联系后,重新对题目所提供的信息进行转换、重组或解释,从而获得更多的信息,实现条件和结论之间的转化。问题理解让解题者的思维受阻时,应重新制定解题方案,使解题思维沿着正确的方向发展,如此往复,直至问题获得解答。问题的解析是否适意,对问题解决具有直接的影响。

三、解决问题

解决问题是解题者在前面对题目的表征和理解的基础上,根据问题的特点来改变问题的起始状态而拟订出解题方案并执行这个方案。解题方案是由一系列的操作所构成,解题操作的选择和组织是由选取一定的策略来决定的。在此过程中解题者就要运用解题思维策略选取一定的解题方法,减小起始状态与目标状态之间的差异,即实现由未知向已知的转化。在解题过程中,解题者经常会遇到难以执行解题操作的情况,甚至无法实施。这种情况下解题者需要重新对问题进行理解,调整解题方案,从而实现新的操作。由此可见,未知到已知的转化和选择解题方法是两个交织循环的过程,解题者采取思维策略对各种解题途径进行比较筛选,找到一种最佳的解题方案,然后采取方案对问题进行解决。解决问题是解题思维过程的核心阶段。

四、解题监控

解题监控就是解题者为了达到解题目标,对解题过程中的解题操作是否适宜、是否能够得到问题的解决作出评估。在高中数学竞赛的解题中,如果所执行的解题操作有困难,或不能够得到问题的解决,那么解题者必须调整当前的思维方式或思维对象,重新认识题目的条件和结论以及当前的问题解决状态,从而发现新的、有用的信息,改变解题思维策略,选择新的解题方法。解题监控也对解题的思路、方法和结果进行评判和检验,同时反思解题过程。

五、题后反思

题后反思即对解题的回顾与思考。反思是以自己的实践过程为思考对象,对自己所做出的行动、决策以及由此产生的结果进行审视和分析。在这个环节中,解题者在问题解决的基础上首先对解题的结果正确与否进行检验,然后对前面几个解题思维阶段进行思考。通过反思能使解题者找到解题思维受阻的原因,挖掘题目中的隐含信息,从不同的角度分析问题,优化解题方法,从而能使解题过程更加简捷合理。

一般而言,奥林匹克数学竞赛的解题思维从对问题的表征开始,通过思维活动明确问题目标,然后根据问题所提供的信息并结合认知结构中的相关信息,分析找出当前状态和目标状态的差异和联系,再根据这些差异和联系提取相关信息,并逐渐找到消除差异的方法和途径,直到消除差异到达目标状态,这一系列操作都是思维活动的结果。

在这个思维过程中,前四个思维阶段并不一定是严格按照上述的顺序进行的。由于奥林匹克数学竞赛题的开放性和探究性,解题者的思维会经常从后一个阶段返回到前面的阶段,比如当思维进行到解决问题的阶段,寻找解题方法感觉有困难时,可能会返回到表征问题或解析题目的阶段,对问题的条件状态和目标状态进行重新理解,然后再用解题思维策略找到适当的解题方法。这四个思维阶段相互之间又存在着交叉和渗透。问题表征的过程中需要对问题进行解析,同时表征又为进一步的解析提供线索。解析过程中可能有消除差异的操作,操作过程中如果不能顺利达到目标或者思维受阻时,问题解决者可能需要回过头来重新对问题进行表征和解析。在解题过程中,解题者都是围绕着如何接近和达到解题目标而进行思维的,由此可见,解题监控更是渗透于整个过程。但是,从整个思维过程来看,在奥林匹克数学竞赛的解题思维过程中,一般都需要经过问题表征、解析问题、解决问题、解题监控四个阶段。

严格地讲,在奥林匹克数学竞赛的解题中,题后反思也是一个不可缺少的思维过程。题后反思对一道数学题的简单解答来说也许不是一个必需的阶段,但是对于奥赛题而言,一个题目完整的解答就要对题目的题解进行分析研究。通过解题的回顾思考不但能加深对题目的印象,而且对于增强解题效果、拓宽解题思路、积累解题经验和提高解题能力都有着很大的帮助,也能在所解答的题目基础上对问题进行推广研究,这能培养学生的科学探索精神和创新能力,提高教师自身的科研能力。

参考文献:

[1] 冯跃峰.奥林匹克数学教育的理论和实践[M].上海:上海教育出版社,2006.

[2] 朱智贤.心理学大词典[M].北京:北京师范大学出版社,1989.

[3] Zelazo P D,Cater A,Reznick J S,Frye D.Early development of executive function:A problem-solving framework[M].Review of General Psychology,1991.

[4] 曹才翰,等.数学教育学概论[M].南京:江苏教育出版社,1989.

[5] 傅敏,丁拓.数学问题解决学习的心理过程及相关因素分析[J].西北师范大学学报(自然科学版),1993(2).

[6] 喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004.

[7] 张雄,李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京:高等教育出版社,2003.

[8] 王勤勇.在数学解题教学中培养学生的反思意识[J].宁波大学学报(教育科学版),2002,24(2).

(作者单位:安徽省桐城师范学校)