揭开镜反数的神秘面纱

小　七　小　璐

还记得《寻找那些美丽的数》吗?(详见2009年7／8期)我们提到回文数中有两组四位数1089和9801，2178和8712，我们不仅称它们是“倍回文数”，还可以把它们叫做互为镜反数。那什么是镜反数呢?

在对联中，有一类文字特别有趣，它可以回读“书读苦处闲心少，少心闲处苦读书”。而在数学中，我们把1089和9801具有这种对称格式的两个数叫做互为镜反数(有时也称一个数是另一个数的逆序数或反序数)。如49与94、465与564、8326与6238。我们这里研究的镜反数可以看作是将偶数位回文数在中问分成两半得到的，所有的回文数的镜反数都是它本身。

互为镜反数的两数差一定能被9、99、999、9999整除。如472-274=198=99×2。

许多互为镜反数的数具有特殊的关系：如：2178×4=8712，1089×9=9801，更有趣的是此数中不论插进多少个9，具有同样的关系，如2199978×4=8799912，1099989×4=9899901。

再如：12与21不仅互为镜反数，且12²=144与21=441也互为镜反数，我们把12与21这类镜反数叫做互为平方镜反数。13和31也是互为平方镜反数。那么，除了以上列举的这些平方镜反数以外，还有哪些平方镜反数?这些平方镜反数有哪些共同特征呢?

对于任何n位数，都存在平方镜反数。我们通过计算归纳如下：

两位数中共有6个平方镜反数11，12，13，21，22，31。

三位数中有15个平方镜反数：101，102，103，111，112，113，121，122，201，202，211，212，221，301，311。

四位数中共有39个平方镜反数：1001，1002，1003，1011，1012，1013，1021，1022，1031，1101，1102，1103，1111，1112，1113，1121，1122，1201，1202，1211，1212，1301，

2001，2002，2011，2012，2021，2022，2101，2102，2111，2121，2201，2202，2211，3001，3011，3101，3111。

五位数中共有91个平方镜反数10001，10011，10012，10013，10101，10102，10103，10111，10112，0113，10121，11003，11001，11011，11012，11013，11101，11102，11103，11111，11112，1113，11121，11122，11123，12202，13001，20001，20011，20012，20101，20102，20112，20121，20122，21001，21011，21101，21102，22001，22011，22101…

六位数中……七位数中

对于n位自然数，若是平方镜反数，我们可以看到这些平方镜反数的数值是由0，1，2，3组成的。我们在上面发现的平方镜反数中间插入任意多个0，都可以得到更高位的平方镜反数。

立方镜反数：如：

1011³=1033364331，

1334633301=1101³

镜反数等式：如144×441=252×252：156×651=273×372168×861=294×492

镜反数等式中又存在这样的特殊关系，请看下面的情形：

144×441=252×252，1+4+4=2+5+2。

156×651=273×372，1+5+6=2+7+3。

1586×6851=3782×2873，1+5+8+6=3+7+8+2。

所有的例子表明了这种等式的奇妙性。我们在赞叹的同时，可以动脑子想想，它是否可以获得证明呢?

想一想

把41和107这两个数同时乘以一位数3、6、9，如下：

41×3=123 107×3=321

41×6=246 107×6=642

41×9=369 107×9=963

它们的积正好互为镜反数，这样的数字还有吗?你能写出几个来(同样乘以3、6、9)?

(参考答案)

有三组34与67，44与77，71与104。