在列方程解决实际问题的过程中学习解方程

朱春雷

方程作为一种重要的数学思想方法,它对丰富学生解决问题的策略,提高解决问题的能力,发展数学素养有着非常重要的意义。

六年级(上册)“方程”单元,是在四年级(下册)和五年级(下册),学生已经分别学习了“用字母表示数”“方程的意义”“等式的性质”等知识,并能解决简单的、一步计算的方程,会列方程解答简单的、一步计算的实际问题的基础上安排的。本单元教学内容的安排和教学的设计是在继承传统优势的基础上,从便教利学出发,着眼于学生继续学习,加强了学生的自主探索,注重学生对方程思想方法和价值的感受和体验。突破了传统教材先学解方程,再利用解方程来解决实际问题的做法,把列方程解决实际问题和解方程安排在一起进行教学,使学生在列方程解决实际问题的过程中学习解方程。教师在解读教材,研究教法、学法,具体教学中可从以下几个方面认真把握。

第一,从促进学生有效地参与数学学习活动,提高学习效率出发,科学合理安排教学内容

六年级(上册)教科书“方程”单元安排了两个例题:例1,西安大雁塔高64米,比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米?例2,北京颐和园占地290公顷,其中水面面积大约是陆地面积的3倍。颐和园的陆地和水面大约各有多少公顷?让学生解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,学习列方程解答两、三步计算的实际问题。通过这部分内容的教学,一方面可以使学生进一步感受方程的思想和方法,增强用方程方法解决问题的意识和能力;另一方面,也能使学生进一步积累解方程的经验,从而为后续学习打下基础。因此,解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,列方程解决两、三步计算的实际问题,同属于本单元的教学内容。而会用等式的性质解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程,能列方程解决一些需要两、三步计算的实际问题,也同为本单元的教学目标之一。

教材为了让学生更好地参与数学活动,提高学习效率,把解方程和列方程解决实际问题的教学融为一体,同步进行,这是和以前教材不同的编排。在例1里,解2x-22=64这个方程是新知识,用它解答实际问题也是新知识;在例2里,解方程x+3x=290是新授内容,解决实际的问题也是新授内容。这两道题既教学解方程的思路和方法,又教学列方程的相等关系和技巧。这样编排,能较好地体现数学内容和现实生活的联系。一方面分析实际问题里的数量关系,抽象成方程,形成知识与技能的教学内容。如例1,通过分析大雁塔和小雁塔高度的数量关系,建立起等量关系,根据已知量和未知量的数量关系列出方程:2x-22=64。这是需要进行两步计算才能求出解的方程,学生以前没有见过,而今天也是在解决问题的过程中出现的新知识,这提高了学生的求知欲望,触动他们好奇心,为了解决实际问题,还必须解这道方程,促使学生主动学习解方程。这不仅提供了学习的内容,也提供了学生自主探索的空间和进行数学活动的机会。另一方面,利用方程解决实际问题,使知识技能的教学具有现实意义,成为数学思考、解决问题、情感态度有效发展的载体。如例2,通过学生学习解方程x+3x=290,利用方程的解,顺利解决了颐和园的陆地大约有72.5公顷,水面大约有217.5公顷的实际问题。在解决问题的过程中,学生充分体会到列方程和解方程的实际意义,感受到解方程是解决问题的途径和必经过程,枯燥的知识技能教学变得有意义、有情趣、有价值。

第二,从引导学生主动学习方程解法考虑,让学生在解决问题的过程中自主探索并掌握有关方程的解法

解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程的知识基础主要有两点:一、等式的性质;二、化简ax±bx的方法。前者已在五年级(下册)教学过,而且学生也积累了一定的利用等式的性质解只需要一步计算的方程的经验;后者在四年级(下册)教学用字母表示数时已安排相应的例题。因为有这些因素,教材没有把解方程作为教学的重点,而是把列方程解决实际问题作为教学的主线,让学生在解决问题的过程中自主探索并掌握有关方程的解法。例1教学,首先引导学生利用题中数量之间的相等关系列出方程2x-22=64,学生对这个方程既熟悉又陌生,熟悉的是ax=c的解法,而这个方程多了“-22”该怎么办?新的问题产生了。这时学生初次面对两步解,就要在教师的启发引导下,运用转化的策略把稍复杂的方程转化成五年级(下册)里教学的简单方程。化复杂为简单、变未知为已知是人们解决新颖问题的常用策略。教材给出了解这个方程的第一步运算,教师要鼓励学生自主解释并理解运算的依据,并接着解出这个方程,从而初步掌握解法。例2的教学是让学生通过解决实际问题,学习解形如ax±bx=c的方程。同样教材也是先引导学生通过画图分析题中数量之间的相等关系,并在根据等量关系列出方程后,突出转化的过程,鼓励学生独立求解,并通过交流突出解例2这样的方程时,一般要先化简,即两步转化成一步,复杂方程转化成简单方程,使新知识植根于已有的经验和能力的基础上。教材为什么示范了解方程的全过程,目的除了规范格式、理清解答过程,还有一个目的就是说明这道题利用方程要解决两个实际问题:陆地面积和水面面积。然后重点启发学生结合题意检验方程,进一步理解并掌握解方程的完整过程。

例1和例2都有列方程和解方程两个教学内容,列出的方程必须正确地解答,才可能得到正确的答案。解方程虽然不是教学的主线,但它也是教学的主要内容。

因此教学过程中,学生在初步掌握解方程的方法后,又在后面练习里专门安排了解方程,加强了解方程的练习,“练习一”的“1.解方程。4x+20=56,1.8+7x=3.9,5x-8.3=10.7。”是在例1解方程的基础上又向两个方向扩展,一是引出了a+bx=c、ax-b=c等结构与例题不完全相同的方程,二是把小数及运算纳入了方程。只要体会了例题里解方程的转化思想和转化方法,会进行小数计算就能适应这两个方面的扩展。练习过程中要先让学生说说解每道方程的第一步要怎样做,以及这样做的根据是什么,然后让学生独立完成。交流时,除了关注学生是否求得了正确的解,还要关注学生解方程的过程是否进行了检验。这样及时的练习使解方程的思路和方法得到了进一步巩固,也更好达成了解方程这个重要的教学目标。

第三,从学生的实际思维和有利于学生发展的角度,正确看待解方程的不同思路和不同解法

教材中突出了利用等式的性质解方程的方法,如例1第一步“2x-22+22=64+22”,要让学生清楚地理解,根据等式的性质,在方程的两边同时加上22,就可以使方程变形为“2x=?”,即把两步转化为一步,新方程转化为以前学过的方程。应用等式的性质解方程,较好地解决了关于方程解法的中、小学衔接问题。教材专门改变了在小学阶段利用四则运算的意义、四则运算互逆关系及相关运算律解方程的传统做法,所以,在五年级(下册)刚学习方程时就引入等式的性质,并应用等式的性质解方程。

能解方程和会解方程是学生的基本技能,也是学习能力。教师在帮助学生掌握教材提供的利用等式的性质解方程的基础上,教师要尊重学生解决问题的实际情况,尊重他们所看好的策略和方法,从有利于学生思维、有利于学生解决问题和有利于学生发展的角度出发,正确地对待学生不同的思考和运用不同的方法解方程。当学生能根据四则运算的意义、四则运算的互逆关系,将例1解方程的过程由“2x-22=64”直接推出“2x=64+22”,并接着写“2x=86,x=43”把方程解出来,教师对于学生这样的思考和解法应给予充分肯定,而且要说明能解方程和会解方程是目的。

既然让学生在列方程解决实际问题的过程中学习解方程,那么,解方程的学习也应该和数量关系的分析联系起来。学生根据不同的数量关系可以列出不同的方程,也反映出学生在解方程时也会有各自独到的思考过程,我们应该尊重不同的思考,并帮助他们理清思路。当学生思考“怎样才能使大雁塔的高度是小雁塔高度的2倍”这个问题,并且得出“只要64米加上22米,它们的和不就是小雁塔高度的2倍吗”的结论。这时学生很顺利地列出方程“2x=64+22”,当中也就蕴涵着解法的思考,说不定学生就会干脆用算术方法“(64+22)÷2=43(米)”解答了。其实解方程也会加深对数量关系的分析,帮助学生分析问题、解决问题,“小雁塔高度的2倍”不正好与“大雁塔的高度加上22米的和”建立起等量关系了吗!同时也让学生感受到解方程在解决实际问题过程中的价值。教学中,我们要充分尊重教材,领会教材的意图,帮助学生完成必需的学习任务,如分析数量关系列方程时,我们要引导学生按条件叙述的顺序进行思考,而不能鼓励他们喜欢怎么想就怎么想。在此基础上,我们就要结合学生学习实际,从利于学生学习数学、利于发展学生数学思考,促进学生有效发展的角度,科学地、综合地、全面地考虑,通过创新教学,使教学真正扎实、有效和有可持续发展性。

第四,从学生的数学体验和数学思想的渗透的高度思考,让学生在解方程和列方程解决实际问题的过程中感受方程的思想方法和价值

我们要重视学生的数学体验,在解方程和列方程解决实际问题的过程中,进一步感受方程的思想方法和价值。在教学解方程时,都是根据实际问题,通过分析数量关系列出方程,再引导学生探索并掌握方程的解法。这样既使学生体会到方程是解决实际问题的需要,又能使学生认识到列方程需要依据数量之间的相等关系。教材中安排的实际问题是需要逆向思考的问题,学生经过列方程解决这样的实际问题,体会到列方程解决实际问题可以按条件的叙述顺序,通过正向思考解决。一方面降低了解决实际问题的思维难度,拓宽了学生解决实际问题的思路;另一方面也有利于学生在列方程解决实际问题的过程中,更好地感受方程的思想,体会方程的实际应用价值。

在学生掌握列方程和解方程后,教师注意引导把列方程和解方程与其他知识相结合,继续解决一些实际问题,如要求学生列方程解答已知三角形的面积和底,求高的实际问题。并和现实生活中的一些实际问题联系起来,用方程的方法去思考解答。这样在不同的情境中应用方程的知识和方法,有助于学生把握方程思想的普遍意义,不断提高解方程和列方程解决实际问题的能力。

解方程和列方程解决实际问题的教学,是通过组织有效的数学活动,使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中,经历将现实问题抽象成式与方程的过程,积累了将现实问题数学化的经验,进一步感受方程的思想方法及价值,发展了抽象思维能力和符号意识。而学生在积极参与数学活动的过程中,也养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。由解方程和列方程解决实际问题获得的成功体验,也为学生增加了探究问题的好奇心和进一步树立了学好数学的自信心。这些更是我们用好教材,创新教学,促进学生发展所要努力探究的。