把数学思想运用在解题中

罗晓聪

数学思想方法是数学知识的精髓,又是把知识转化为能力的桥梁。西师版小学新教材比以往更加重视这一精髓的渗透,作为教师更应高度重视。我在平时的教学中及时对数学思想方法进行提炼、归纳和概括,引导学生灵活运用数学思想方法解决数学问题,掌握解决问题的策略,启迪学生思维,发展学生的数学职能,让数学思想方法逐步深入学生心灵。下面介绍几种常见的思想方法。

1.比较思想

比较是一切理解和思维的基础。它是把研究对象的个别属性通过分析,综合,抽象和概括等思维方式来确定它们之间的异同,从而得到一定规律的数学思想。通过比较分类,发现新的问题,开发思考的新角度,寻找新的联系和异同。从而找到解决问题的方式。(比较思想在低中段渗透多)

如:小华买2支铅笔和3个本子共用去4元,小青买同样的铅笔4支和3个本子共用去5元,求每支铅笔和每个本子各多少远?

比较:小华:2支铅笔+3个本子=4元

小青:4支铅笔+3个本子=5元

通过比较会发现,两人所买本子的个数相同,小青比小华多买(4-2支铅笔)多用了(5-4)元,所以每支铅笔(5-4)÷(4-2)=0.5元,而每个本子为(4-0.5×2)÷3=1元,或(5-4×0.5)÷3=1元。

2.列举思想

列举法是一种借助具体事件的特定对象,从逻辑本质属性上进行分析,并将其本质内容全面的一一罗列出来的手段,再针对列出的项目一一提出改进,排除多的方法。(列举思想在高段渗透比较多)

如:判断:质数都是奇数,合数都是偶数。(×)

只有列举出与质数、合数、奇数和偶数的本质属性相矛盾的具体数就能判断。2是质数,但不是偶数。

3.转化思想

转化法就是将有待解决或未解决的问题,通过某种转化手段归纳总结为另一个相对比较容易的问题,以求得问题的解答。(在五六年级讲平行四边形,三角形,梯形,圆的面积公式推导和圆锥的体积就渗透了转化思想)小学数学题中,会遇到一些数量关系复杂,隐蔽而又难以解决的问题,可以通过转化使生疏的问题熟悉化,抽象的问题具体化,复杂的问题简单化,从而提高解题效率。

如:某班学生上午缺席人数是出席人数的1/7,下午因又有一人请假,故缺席人数就是出席人数的1/6,该班有多少人?

很明显,题中缺席人数和出席人数的关系比较隐蔽复杂,只有抓不变量,把全班人数看成单位“1”,将题中的两个分率1/7,1/6转化成比,就很容易看出一人对应的分率是多少?上午缺席人数是出席人数的1/7,也就是上午缺席人数是全班人数的1/(1+7)。同理:下午缺席人数是全班人数的1/(1+6),因此全班人数应为:[1/(1+6)-1/(1+7)]。

4.数形结合思想

数形结合思想是一个重要的数学思想,也是一种常用的数学方法。是把问题的数量关系和空间图形结合起来分析,能化难为易,使某些知识的构建更加直观简捷。这一思想方法一直贯穿小学教材的每一册,在小学五六年级的解决问题中,有些题的数量关系复杂,用一般的思维方法难以发现解题方法,,则可以把题中的条件和问题用直观的线段图表示出来,以便很快发现解题思路,使问题迅速得到解决。

如:一根绳子,用去1/4后,又接上10米,这时是原来的4/5.原来绳长多少米?

画线段图:

借助上面线段图,很清楚的找出10米对应的分率,由此可以得到以下几种解法。

方法一:10 ÷ [1/4-(1-1/5)]

方法二:10÷[4/5-(1-1/4)]

方法三:10÷(4/5+1/4-1)

5.假设法

假设法是一种常用的推测性的数学思维方法。(假设思想方法在高段数学渗透较多)。小学数学解题中,有些问题的数量关系比较隐蔽,难以建立数量之间的联系,无从下手,可根据问题的具体情况合理假设,得出关系和结论,从而达到解决问题的目的。

如:一项工程,甲独做12天完成,乙独做4天完成。若甲先做若干天后,由乙单独完成余下的工程,这样前后用了6天完成任务,甲做了几天?

我们可以这样假设:假设前后共用6天全是乙做的,则乙完成的工作量为1/4*6=3/2,这样比工作量多了3/2-1=1/2,由于把甲做的算作乙做的,现在以甲代替乙1天,工作量减少1/4-1/12=1/6,故甲必须代替乙1/2/1/6=3天,也就是甲先做了3天。

6.极限思想

极限使用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。由于小学生的年龄特点的限制,他们对具体的数量有限的事物容易理解,对抽象的、数量无限的事物难以把握。但作为教师,我们不能无视极限思想的重要性,要着眼于学生的长远发展。

如:0.999--和1哪个大?

这个问题通过以下的方法加以解决:1-0.9=0.1 1-0.99=0.01 ;1-0.999=0.001--这时可以引导学生观察,随着小数部分9的个数不断增多,与1的差也逐渐减少,而在0.9999--中的小数部分由无穷多个9,那么最终的差是多少呢?这样使学生认识到差会越来越小,最终成为0。