《抽屉原理》课堂实录与反思

曾　静

教学内容：

人教版小学数学六年级下册第五单元《数学广角》。教学目标：

知识与技能：

1．初步了解“抽屉原理”。

2．用操作枚举或假设的方法探究“抽屉问题”的一般规律。

3．会用抽屉原理解决简单的实际问题。

4．体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识和能力。

过程与方法：

经历从具体到抽象的探究过程，初步了解抽屉原理，提高有条理地思考和推理的能力，体会比较的学习方法。

情感、态度与价值观：

感受数学的魅力，培养学习数学的兴趣。

教学过程：

一、引入新课

师：同学们，再过84天，我们将迎来举世瞩目的奥运盛会，历经波折的第29届奥运会即将在北京拉开帷幕。课前，老师要求大家进行“我喜爱的运动员”调查，你们做了吗？

师：你调查了几名？说说他的基本情况。（生答略）

师：哇，这么多呀！能把你的调查记录展示给大家看看吗？（生上台展示）

师：大家信不信，老师不看屏幕，就能猜出一些运动员的基本情况！（生摇头）不信啊，那我就试试看！如果通过验证，老师的猜测完全正确，你们就来点掌声，好吗？（生答：好！）

师：我猜，在这位同学的调查表中，至少有7名运动员是同一性别。（掌声）

师：在这张调查表里至少有2名运动员是同月出生的。并且至少有2名运动员的属相相同。（掌声）

师：我还敢肯定地说，在这13名运动员中，至少有4名运动员是同一血型。（掌声）

师：谢谢大家的掌声，也谢谢你！想知道老师为什么能做出如此准确的判断吗？其实，这里面蕴含着一个有趣的数学原理——抽屉原理。（板书：抽屉原理）这节课我们就共同来研究这个数学问题。

（设计意图:紧扣时代旋律,激发爱国情感,联系学生的生活实际,从学生的调查结果入手,产生认知冲突,激发学生的探究欲望,使学生积极投入到对问题的研究中。）

二、实验探索

第一步：研究铅笔数比笔筒数多1的情况。

1．师：首先，让我们来做一个实验。大家看：老师这里有4支铅笔，讲台上有3个笔筒，如果把这4支铅笔放进3个笔筒，会出现哪些不同的放法？你们又能从中发现什么有趣的现象？请你们以小组为单位，积极尝试，合作交流，并把你们的放法和发现填写在记录卡上。

2．学生以小组为单位进行实验操作，并把放法和发现填写在记录卡上。

操作记录卡

3．汇报交流。

生1：我们组通过实际操作，发现把4支铅笔放进3个笔筒，有这样一些放法：（2、1、1）（1、2、1）（3、1、0）（1、0、3）（4、0、0）（0、2、2），每种放法中放入笔筒中最多的支数只有3种情况，分别是（4支、3支、2支），通过观察，我们发现：不管怎么放，每种放法中，都有一个笔筒里的铅笔数是2支或2支以上。

生2：我们组是这样想的：虽然放法有许多，但是我们只对这4种情况进行了分析，第一种是（4、0、0），第二种是（3、1、0），第三种是（2、2、0），第四种是（2、1、1），每种放法放入笔筒中最多的支数分别是（4支、3支、2支、2支），通过观察我们发现，最少的支数是2支，于是我们得出了：把4支铅笔放进3个笔筒，无论是哪种放法，一定有一个笔筒里的铅笔数不少于2支。

师：你们组为什么只对这四种放法进行研究呢？

生2：因为像（4、0、0）、（0、0、4）和（0、4、0）这三种放法其实都是说明了其中一个笔筒里有4支，另两个笔筒里没有，最多放的支数都是一样的，都是4，所以只需分析其中的一种。

师：大家同意他的说法吗？（生：同意）你们组的同学真棒!我们一起来看：这三种放法只是铅笔放进笔筒的位置发生了交换，但出现的结果都是一样的。（老师边演示边说）所以，我们只需做一种考虑。

生3：我们组的意见与前2组一致，也发现了：把4支铅笔放进3个笔筒，无论怎样放，总有一个笔筒里至少要放进2支铅笔。

师：说得好极了！不仅善于思考，而且表达更准确了！能否告诉大家，在这里你为什么要用“总有”和“至少”这两个词呢？

生3：总有就是说一定会有，无论怎样都会有；至少就是不能少于，一定不能低于某个数的意思。

师：真不简单！是的，数学语言的最大特点就是严谨，“总有”“至少”这两个词能准确地表示出这种存在的必然性。

（设计意图：通过学生小组合作、动手操作、观察思考、归纳发现等系列活动，培养学生自主探究意识，体验成功，激发再探究的动力。）

师：同学们都是好样的！通过实验操作、观察，我们发现了：把4支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。大家看，我们刚才所发现的这个至少数“2”，是通过把所有的放法罗列出来以后，再进行观察所得到的。想一想，有没有更好的方法让我们能够很快的找出这个至少数呢？

生4：我先在每个笔筒里各放一支，这时还剩下一支，把剩下的这1支无论我放在哪个笔筒里总会有一个笔筒里会有2支。也就是总有一个笔筒里至少有2支铅笔。（生上台边演示边说）

师：你为什么要先在每个笔筒里各放一支呢？

生4：因为要想保证找出这个至少数，首先就应该让每个笔筒里都有铅笔，在都有的情况下，又要尽可能的都少有，也就是要先平均分，这样余下的一支不管和哪个笔筒里的铅笔合在一起，都能得出至少支数。

师：想得太好了！（鼓掌）也就是说，要想很快的找到这个至少数，首先就要把铅笔尽量的平均分。谁能用算式把刚才这位同学的放法表示出来？

生5：4÷3=1……1

1+1=2

师：你能说说这个算式表示的意思吗？

生6：4÷3，表示把4支铅笔尽量的平均放在3个笔筒里，等于1表示每个笔筒里分得1支，余1表示还剩1支， 1+1=2表示的是至少数。

师：不错，那按照这样的想法，把6支铅笔放进5个笔筒，怎么想？

生7：先在每个笔筒里各放1支，还剩1支，这剩下的1支，无论放在哪个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔。

师：说得好！那把10枝铅笔放进9个笔筒，情况怎样？

生：总有一个笔筒至少有2支。

师：把100支放进99个笔筒呢？

生一齐：总有一个笔筒里至少放2支铅笔。

师：你们发现什么规律了吗？

生8：我发现：把铅笔放进比铅笔数少1的笔筒里，总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。

师：真聪明！也就是：只要放的铅笔数比笔筒数多1，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。

（设计意图：让学生感受到既可以直观操作，更可用假设法思考，在研究4支铅笔放入3个笔筒的现象后，进一步引导学生用前面的方法进行类推，从中体会假设法的一般性和便捷性，从而小结出普遍性规律）

第二步：探究铅笔数比笔筒数多得多的情况。

师：同学们，研究到这儿，你们还想更深一步的探讨吗？（生：想！）仔细想想还有一些什么问题值得我们继续研究呢？

生1：我还想探究如果放进的铅笔数比笔筒数不是多1，而是多2、多3，情况又会怎样？

生2：我想探究铅笔数比笔筒数多得多的情况。

生3：我想知道究竟什么是抽屉原理。

生4：我们刚才研究的几种情况都是平均分后，余下的铅笔是1支，如果这个余下的支数不是1支，而是2支或2支以上，情况又会怎样呢？

……

师：同学们的想法可真多，而且想得很深入，现在让我们首先来解决这样一个问题：如果铅笔数比笔筒数不是多1，而是多2、3……总有一个笔筒里至少放进几支铅笔呢？

（设计意图：通过学生自主提问，充分发挥学生的主观能动性，培养学生自主学习、自我解决问题的能力，让学生真正成为课堂的主人。）

2、学生自主探究，师巡回指导。

3、反馈交流。

生1：我们组还是用实验操作的方法，探究了8支铅笔放进5个笔筒的现象。先在每个笔筒里各放1支，这时还剩下3支，再在3个笔筒里各放1支，我们发现：把8支铅笔放进5个笔筒，总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。

师：刚才出现的余数是几？（学生答“3”）这余下的3支，你为什么要分别放进3个笔筒呢？（师边演示边问）

生1：因为要想保证至少出现的结果就要让余下的支数平均分。

师：你能用算式把你刚才的放法表示出来吗？

生1：8÷5=1……3

1+1=2

生2：我们组研究了把7支铅笔放进2个笔筒的情况，我们是直接用算式想的：用7÷2=3……1 3+1=4（师板书），也就是说总有一个笔筒里至少放进4支铅笔。

师：嗯，你们能够用抽象的算式来思考，真不简单！还有吗？

生3：我们组研究的是8支铅笔放进3个笔筒的问题，我们是用假设法来想的：按照尽量平均分放的原则，假设先在每个笔筒里各放2支，这时还剩下2支，用8÷3=2……2（师板书），这剩下的2支也应该分别放进2个笔筒，也就是在2个笔筒里各放1支，用2+1=3（师板书），于是，我们发现：8支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒里至少放进3支铅笔。

师：你的发言很有条理！值得学习！大家看：当铅笔数比笔筒数不是多1时，总有一个笔筒里至少出现的支数又是多少呢？

生4：有的是2，有的是3，有的是4。

师：对，还可能是5，6，7……再来观察这些式子，你们觉得求这些至少数有什么规律呢？

生5：用铅笔数除以笔筒数，所得的商加1就求出了这个至少数。

师：你观察得真仔细！（边指边说）为什么要用商加1，而不是商加余数呢？

生：因为余下的支数也要尽量的平均分。

师：是的，因为余数要比除数小，所以余下的支数在尽量平均分时，分到的笔筒最多也只能分到1支，那么这个至少数就只能是商+1，而不是商加余数。

师：其实刚才我们所研究的这个铅笔数实际上就是物体数，笔筒数就相当于抽屉数。那这个式子还可以怎样表述？

生：物体数÷抽屉数=商……余数（师边说边板书）至少数=商+1

（设计意图：抓住假设法最核心的思路就是用“有余数的除法”形式表示出来，通过观察式子，发现求至少数的一般方法，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。）

师：如果用n表示抽屉数，k表示商，b表示余数，那么这个物体数怎样求？

生6：物体数=kn+b（师板书：kn+b）至少数为k+1。

师：那这个规律用语言还可以怎样表达？

生7：把kn+b个物体放进n个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进k+1个物体。

师：也就是把多于kn个物体放进n个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（k+1）个物体。你们的这一发现就是著名的抽屉原理。（板书）

师：下面让我们来听一段关于抽屉原理的介绍。（播放一段视频资料）

（设计意图：增加数学文化气息，拓展学生知识面，同时教育学生学习数学家观察生活的态度，研究问题的方法，感受数学在生活中的作用，渗透唯物主义思想教育。）

三、应用原理

师：同学们，100多年前，数学家狄里克雷发现了抽屉原理，今天，你们通过自主探究，也发现了这一规律，老师真替你们高兴！其实这一内容就在教科书的70页和71页，大家打开来看看！（生看书）

1．想一想，说一说。

（1）7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一鸽舍？

（2）把9本书放入2个抽屉，则总有一个抽屉里至少放几本书？

（3）有5袋饼干，每袋10块，发给6个小朋友，总有一个小朋友至少分到几块饼干？

2．他们说的对吗？为什么？

向东小学六年级共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。

A、六年级里至少有2名学生的生日是同一天。

（

）

B、六（2）班只有5名学生的生日在同一月。

（

）

（设计意图：实际问题与抽屉原理之间架起一座桥并不容易。在通过分层次练习，引导学生如何把具体问题转化为抽屉问题，突破了本课堂的难点。）

师：同学们想一想，刚才我们用抽屉原理解决问题的关键是什么？

生：我认为关键是要找准物体数和抽屉数。

师：对，关键就是要弄清把什么当作物体，把什么看作抽屉。

3．分析课初老师所做的猜测。

师：（展示课初出示的调查表）为什么老师每次都能作出如此准确的判断呢？例如：我肯定13名运动员中至少有7名运动员是同一性别，4名运动员同一血型，2名同属相或同月出生？你能破解其中的奥秘吗？

教师引导学生分析关键：

把运动员的人数当作物体数。

把男女两种性别当作抽屉。

把一年12个月当作抽屉。

把4种血型当作抽屉。

把12个生肖当作抽屉。

（设计意图：研究的问题源于生活，还要还原到生活。让学生利用所学揭示课始准确猜测之奥秘，达到巩固应用的目的。）

4．玩“猜扑克”的游戏。

师：好，接下来，我们就一起来玩个“猜扑克”的游戏。看，老师这儿有一副扑克牌，现在老师抽走其中的2张王牌，（边说边抽）谁愿意上来随意的抽取，你来！（洗牌）记住：不能少于5张。（1名学生抽5张牌）

师：大家来猜一猜，这5张牌里至少有几张是同花牌？

生1：我猜这5张牌中至少有2张同花牌。我是这样猜的：把扑克中的黑、红、梅、方这4种花色看作4个抽屉，把抽出的5张牌看作5个物体，根据抽屉原理，5÷4=1……1

1+1=2，其中总有一种花色至少出现2张牌。

师：我们一起来验证一下，他猜对了吗？（生答：对）

师：好，现在请你来拿牌，我来抽。（师抽14张牌)

师：我抽14张牌，你来提问考考大家。

生：14张牌中至少有几张是同花牌？（生答：4张）

师：再想想，你们还能猜出什么？

生2：我还能猜出在这14张扑克牌中，至少有一个对子。

师：你是怎样猜出来的？

生：把A——K这13种牌看作抽屉，把抽出的14张牌看作物体，用14÷13=1……1，1+1=2，所以这14张牌中至少会出现1个对子。（一起验证）（掌声）

（设计意图：增强练习应用的趣味性，让学生感受抽屉原理原来离我们这么近。）

5．学生把现实生活中能用抽屉原理解释的现象写下来。

（设计意图：让学生充分展开想象和思考，充分调动生活中的感性经验积累，挖掘生活中的抽屉原理现象，对本课深化与延伸。）

教学反思

“抽屉原理”的应用广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。对于简单“抽屉原理”现象，学生已有简单生活的积累，但对于这一原理所揭示的一般性规律，学生却从未接触，也极少用到证明推理。因此在本节课的教学中，重在引导学生主动经历将具体问题“数学化”的过程，帮助他们积累数学活动的经验与方法，体会用数学知识解决生活中具体问题的趣味和便捷。

1．创设情境，让学生滋生探究欲望

兴趣是最好的老师，是调动学生积极探究知识的动力，学生感兴趣就会很积极地参与到学习中来，反之他们则会不予理睬。对于“抽屉原理”的学习，学生以前并没有接触过，学生以前理解数学问题全都是由数量和数量关系组成，解决问题时基本上是用算术和几何知识，极少用到推理的知识。所以，教学中激发学生学习的兴趣尤为重要。本节课中，我从学生的调查表入手进行猜测，很快抓住学生的注意力，使学生产生“疑而不解，又欲解之”的强烈愿望，激发了学生的探究兴趣，为后面探究抽屉原理、应用抽屉原理作了很好的铺垫。

2．借助操作，为学生提供探究空间

教师不是学生学习的指挥者，而是学生学习活动的伙伴。教学中学生是学习的主体，教师只是与学生共同探索、共同研究，与学生一起解决问题、构建模型，让学生在问题中“学”和“悟”。如学生初学“抽屉原理”时，数据一般较小，学生用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点，这也是学生最容易想到的方法。但随着数据的变大，这些方法就相当繁琐了，此时教师就应该进行适当的引导，促使学生自觉采用更一般的方法，即假设法。这样不仅可以调动学生学习的主动性，而且可使学生发现问题、探索问题、解决问题的能力得到提高，思维也更加活跃。

在施教过程中，我重在让学生经历知识发生、发展的过程，为学生提供主动参与的机会，借助把4支铅笔放进3个笔筒的操作情境，让学生通过放一放、记一记、想一想、议一议的过程，把抽象的数学知识同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，发现并描述、理解了最简单的“抽屉原理”。即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，此时又进行适当的引导，让学生体验用平均分的方法，即“假设法”更容易发现和理解“总有一个笔筒里至少放进几支笔”的现象，并能用“有余数除法”这一类数学形式表示，认识了“抽屉原理”最核心的解题思路。

在学生已经掌握了简单抽屉问题思考方法的基础上，我又让学生主动提问，进一步产生认知冲突：“当铅笔数比笔筒数不是多１时，总有一个笔筒里至少放进几支铅笔呢？”留给学生较大的思考空间，让他们以小组合作的方式，用自己喜欢的方法探究，不仅充分调动了学生学习的主动性，而且使学生发现问题、探索问题、解决问题的能力得到了很大的提高。然后通过交流说理，观察算式，我还提出针对性的问题：“怎样求至少数？”引导学生的思维步步深入，从本质上理解了“抽屉原理”。

3．联系生活，延伸自主探究的激情

学生的智力活动与他对周围事物的作用紧密联系，即学生的理解来自他们作用于物体的活动。“抽屉问题”具有一定的思维性和抽象性，学生往往缺乏感性经验，只有通过实际操作获得直接经验，才便于理解其方法，从而发现其规律。本节课“抽屉原理”是在观察、操作、思考与推理的基础上理解和发现的，但当学生面对生活中的具体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉原理”的“一般化模型”之间的内在关系，是解题的关键。因此教学时，让学生再经历将具体问题“数学化”的过程，以游戏导入，又以游戏结束，从生活实例中发现规律，前后呼应，既学到了知识，又用到了知识，使学生进一步体会到“数学就在自己身边，自己学习的就是有用的数学”，从而感受到了数学的魅力。

（责任编辑：黄佑生）