题组比较：提高思维深刻性的有效手段

张卫星

思维深刻性是指思维活动的深度、广度和难度以及思维活动的抽象程度和逻辑水平。它集中表现在善于透过现象和外部联系，揭示事物的本质和规律。在数学教与学的过程中，思维的深刻性是思维品质诸多特性中最具基础和较为深刻的要素，对其他品质特性具有统摄和联动作用。在认识事物时，若缺少对其本质深刻的揭示，其灵活性、批判性就无从谈起，而题组比较是培养学生数学思维深刻性的立足点和突破口。所谓题组比较，是从学生的学习心理特点出发，针对学生数学思维训练的需要，按数学知识的内在联系把几道习题编成一组，从不同侧面(层次)以基本相同的题型而呈现，学生通过对照练习，达到对比分化、沟通辨析，提高学生数学思维深刻性的目的。那么，数学题组包含哪些类型?其作用又如何呢?

一、同组异质，促进分化

所谓同组异质，是指构成题组的几道练习的解题思路完全不同，但放在一起却能使学生更好地厘清那些容易混淆的知识点和解题方法，有效达到1+1>2的效果。

例如，在完成“圆柱和圆锥”教学之后，我设计了如下题组：

1、把一根底面直径6厘米，长20厘米的圆柱形木条削成一个最大的圆锥体，求削去了多少立方厘米?

2、把一根底面直径6厘米，长20厘米的圆柱形钢条，加工成一个底面直径10厘米的圆锥体，求这个圆锥体的高是多少厘米?

在出示题组后，我先让学生找出这组应用题中的两个动词：削成、加工，让他们说说这些动词所表示的数学意义。通过言语交流，大家都明白加工前后的总体积是不变的，而削成前后的总体积是不相同的。在此基础上，再让学生进行列式解答。通过这样的重点强化训练，学生对“加工”和“削成”的不同点一清二楚，出错的机会就大大减少。

又如，在完成“组合图形的面积”教学之后，我设计了如下题组：

下面三幅图都是由两个等底等高的三角形重叠在一起后形成的图形，请你根据不同条件列式(只列式不计算)。

以上三幅图的形状完全一样，但给予的条件却不相同，因此解题思路也就各不相同。通过这三道习题的训练，学生可以较好地领会“相加”“相减”及“加减混合”等求组合图形面积的思路，相应的解题技能也就得到强化。

二、同组同质，拓宽思路

所谓同组同质，是指构成题组的几道练习的内容、情节、类型各不相同，但最终的解题思路却相同或相近。通过这样的题组练习，可以拓宽学生解决某一类题目的思路和方法。

例如，在进行“工程解法应用题”的复习时，我设计了如下对照题组：

1、一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成。如果两队合修，需要几天完成?

2、小明从甲村走到乙村需要30分钟，小王从乙村走到甲村需要20分钟。如果两人分别从两村同时相向而行，需要经过几分钟才能相遇?

3、一个水池有甲、乙两个进水管，若单开甲管要20小时才能把水池注满，单开乙管要30小时才能把水池注满。若两管同时开，几小时可以把空池注满?

4、王老师带着一些钱到街上买水果，单买苹果可以买30千克，单买杨梅可以买20千克。如果要买同样多的苹果和杨梅，各应买多少千克?

以上四题内容虽不一样，但它们的解题思路却是共同的，即：1÷(1/20+1/30亩)。这就使学生对工程解法的适用范围有了更深的认识。

又如，为了沟通工程、行程、分数应用题之间的联系，加强这部分知识之间的同化，可设计如下一组题进行练习：

1、一项工程，甲队独做5天完成，乙队独做6天完成。现由甲队先做2天后，余下的工程由乙完成，乙做几天?

2、小华有一笔零钱，可以买4千克香蕉或买5千克苹果，现在他买了2千克香蕉，剩下的钱还可以买几千克苹果?

3、从甲地到乙地，客车需要5小时，货车需要6小时。现在客车与货车同时分别从甲、乙两地相向开出，2小时后客车停车修理，货车又经过几小时才能到达客车修车的地点?

这样的题组，所讲情节表面看起来毫不相干，习题类型似乎也不相同，但他们的题目结构、数量关系、算理却是相通的。通过学生的分析、解答、比较、概括，将这些知识相互沟通，形成新的知识网络，建构起新的认知结构。可见，巧妙设计同组同质题组，可以使学生对所学知识融会贯通，从而拓宽应用的视野，提高解题的灵活性。

三、同组递进，增强认知

所谓同组递进，是指构成题组的几道练习之间具有递进关系，前一道练习是解决后一道练习的基础。设计递进题组，可以使学生更好地认知此类应用题的结构框架。

例如，在进行“分数应用题”的复习时，我设计了如下递进题组：

1、一辆汽车，2小时行完全程的1／6，求行到终点需要多少小时?

2、一辆汽车，2小时行完全程的1／6，求行到中点需要多少小时?

3、一辆汽车，2小时行完全程的1／6，求行到中点还需要多少小时?

以上三题联系紧密，学生通过练习可以较好地认识到有关“中点”应用题的由来及特征。

又如，在复习“整数应用题”时，可设计如下有发展性的题组：

1、一个生产小组要加工一批汽车零件，原计划每天加工200个，15天完成任务，实际每天加工零件250个，这批零件要几天完成?

2、一个生产小组要加工一批汽车零件，原计划每天加工200个，15天完成任务，实际每天多加工50个，这批零件要几天完成?

3、一个生产小组要加工一批零件，原计划每天加工200个，15天完成任务，实际每天多加工50个，这批零件可提前几天完成?

这样，不仅有利于学生掌握复合应用题的结构和解题思路，而且有利于学生思维能力的逐步发展。

四、同组对立，掌握规律

所谓同组对立，是指构成题组的两道练习的解题思路正好相反，组成一对矛盾体，让学生在强烈的矛盾>中突中深刻地掌握解题规律。

例如，在学习“组合图形的面积计算”之后，我设计了如下两个题组：

1、分别出示两个组合图形，说一说怎样求出它们的面积，并口答算式计算。

2、下图是两枚火箭模型的平面图(其中右图缺少了一个部件)，你能分别求出它们的面积吗?

两个题组中的第一幅图都用“相加”的思路解答，第二幅图都用“相减”的思路解答。通过这种对比强烈的题组练习，学生对组合图形面积的基本求法印象就深刻了。可见，设计对比强烈的题组，是学生深刻掌握解题规律的重要手段。

五、同组相通，体验变化

所谓同组相通，是指构成题组的几道练习的解题思路可能不一样，但相互之间却有着千丝万缕的联系，把它们放在一起进行比较，可以让学生深刻地体验数学条件细微变化所带来的无穷魅力。

例如，在进行《分数应用题》复习时，我设计了如下对照题组：

①一根电线长60米，用去2/5米，还剩下多少米?

②一根电线长60米，用去2/5，还剩下多少米?

③一根电线长60米，用去的比剩下的多2/5，剩下多少米?

④一根电线长60米，第一次用去2/5，第二次用去1/3，还剩下多少米?

⑤一根电线，第一次用去60米，还剩下全长的1/3，这根电线长多少米?

⑥一根电线，第一次用去60米，比全长的2/5少4米，这根电线长多少米?

通过列式解答，分析、比较它们的异同点，学生的分析能力、解题能力和辨析能力就得到了较大提高，同时也深刻地感受到数学审题的重要性。

又如，在进行“垂线”知识的整理时，我设计了以下一组题目：

1、先画一条直线，然后通过直线上的一点画一条和它垂直的直线。

2、先画一条直线，然后在直线外点一点，并通过这一点画一条和已知直线最近的线段。

3、先画一个锐角三角形，然后画出水平底边上的高。

通过这三个比较练习，学生对“垂线”“垂直的线段”“高”这三个数学术语区分就比较清晰了，以后遇到同样的题目就不会画得模棱两可了。可见，在数学教学中有意识地对一些例题或习题进行变换条件和问题的练习。让学生在同中求异、异中求同的过程中，沟通知识之间的相互联系。

总之，结合数学教学实际精心设计一些有坡度、有联系的题组，沟通知识间的联系，有利于扩展学生原有认知结构，形成知识网络，从而更好地培养学生思维的深刻性，提高学生的辨析能力。这既是小学数学教育的本质所在，也是在数学课堂中落实素质教育精神的具体体现。当然，何时出示题组最有效?还值得大家深思。