遭遇命题新概念的难堪

冯卫光

在高中《数学》（全日制普通高中教科书·必修）中，给命题下的定义是：可以判断真假的语句，叫做命题。如:“3是12的约数吗？”“求证方程x2 + 1 = 0无实数根”，“│x│=1的根是1”，“x > 5”……都不是命题，它们不涉及到真假，或不能判断其真假。

上面有些语句中含有变量，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的，这种含有变量的语句称为开语句。

按照命题的概念，并不是所有的命题都有逆命题，因为将一个命题视为原命题时，它的逆命题可能是一个开语句，而不是命题。如：若x > 0，则x2 > 0，反之，若x2 > 0，则x > 0。

这里的“若p则q”是命题，“若q则p”是开语句，不是命题。

因此，教科书中所定义的四种命题及其关系是不能成立的，在这里，提出来与同行朋友商榷。

如：第30页

例1，根据下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：

（1） 负数的平方是正数；

（2） 正方形的四条边相等；

例1中的（1）、（2）改成“若p则q”的形式，原命题可以写成：（1）若一个数是负数，则它的平方是正数。

（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

它们是真命题。

（1）中的“若q则p”：若一个数的平方是正数，则它是负数。

“若┐p则┐q”：若一个数不是负数，则它的平方不是负数。

（2）中的 “若q则p”：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形。

“若┐p则┐q”：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。

分析：按命题新概念来判断，（1）与（2）中的“若q则p”及“若┐p则┐q”均不是命题，故不能说成是逆命题及否命题。

因此，一个命题是否存在逆命题及否命题，要根据命题的结构进行分析。若存在才可以说四种命题，若不存在，四种命题就无从说起了。

那么，教科书中给的几种命题的关系是不是出了问题呢？其实没有。教科书的定义是：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

讲互逆命题的前提是两个命题，假如两个命题的条件与结论能相换，才是互逆命题。这里不是说将任意一个命题的条件与结论互换就能够成为一对互逆命题。因此，对于任意一个命题，不一定存在逆命题（否命题）。而在《数学》教科学书中，忽视了这一点，将任意一个命题都视为存在其逆命题，以致在例题、练习及习题中多处发生错误，现列举一些如下，以飨读者。

第30页练习

第2题，填空：（1）“末位是零的整数，可以被5整除”的逆命题是“________________”；

它的逆命题不存在。

第31页

教科书在讨论一个命题的真假与其他三个命题的真假存在如下三条关系时，举例有两处错误。

1．原命题：“若a = 0，则ab = 0”是真命题，它的逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题。

2．原命题：“若a = 0，则ab = 0”是真命题，它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题。

这里的“若ab = 0，则a = 0”及“若a≠0，则ab≠0”均是开语句，不是命题，无法判断其真假，就不能说成是假命题。

第33页习题1.7

第2题 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：

（2）全等三角形一定是相似三角形；

（3）若m > 0，则x2+ x－m = 0有实数根。

分析：（2）中的“若q则p”：相似三角形，一定是全等三角形。“若┐p则┐q”：不全等的三角形一定不是相似三角形；

（3）中的“若q则p”： 若x2 + x－m = 0有实数根，则m > 0。“若┐p则┐q”： 若m ≤ 0，则x2 + x－m = 0没有实数根。

这里的“若q则p” 及“若┐p则┐q”是开语句，不是命题。

第3题 判断下列命题的真假：

（3）命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；

（3）中不存在否命题，不能判断其真假。

第4题 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：

（2）“矩形的两条对角线相等”。

不存在逆命题及否命题，不能判断其真假。

第35页练习

第2题，指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件:

(2)p：a∈R，q：a∈Q。

这里的“若p则q”不是命题。

第35页

例2，指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“ 既不充分也不必要条件”中选一种）？

（1）p：(x－2)(x－3) = 0；q:x－2 = 0

（4）p：四边形的对角线相等，q: 四边形是平行四边形。

这里的“若p则q”均不是命题。

第36页习题1.8

第3题，判断下列命题的真假：

（1）“a > b”是“a2> b2 ”的充分条件；

（2）“a > b”是“a2> b2 ”的必要条件；

（3）“a > b”是“ac2> bc2 ”的充分条件；

（4）“a > b”是“a + c > b + c”的充要条件。

此题中的（4）是命题，（1）、（2）、（3）均不是命题。

在新教科书中，遭遇命题新概念的难堪。笔者建议，命题按初中给出的定义“判断一件事情的句子 ，叫做命题”更恰当些，这是本人在教学中的一点浅认识，仅供同行参考。