关于Hardy-Hilbert型积分不等式

彭琳,高明哲

(吉首大学师范学院数学与计算机科学系,湖南吉首 416000)

关于Hardy-Hilbert型积分不等式

彭琳,高明哲

(吉首大学师范学院数学与计算机科学系,湖南吉首 416000)

设=1且p＞1.通过引入一个适当的积分核函数和¡参数λ(λ＞¢−1),创建了一种新型的Hardy-Hilbert型积分不等式.证明了其常数因子pλ+1+qλ+1Γ(λ+1)是最佳的,其中Γ(x)是Γ-函数.特别,当p=2时,得到了一种新的Hilbert型积分不等式.作为应用,给出了它的一种等价形式.

积分核函数;权函数;Γ−函数;Hardy-Hilbert积分不等式;最佳常数

1 引言

2 主要结果

并且常数因子¡pλ+1+qλ+1¢Γ(λ+1)是使(2.1)式成立的最佳值.

证明应用Hardy的技巧和H¨older不等式来估计(2.1)式的左边

3 一种等价形式

因此,不等式(3.1)式等价于(2.1)式.

如果不等式(3.1)式中的常数因子cp不是最佳的,那么由(3.4)式知:不等式(2.1)式中的常数因子也不是最佳的,这是一个矛盾.于是定理获证.

同理,可以建立与推论2.2以及推论2.3相应的等价形式,这里从略.

[1]Hardy G H,Littiewood J E,Polya G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge Univ.Press,1952.

[2]高明哲,徐利治.Hilbert不等式的各种精化与拓广综述[J].数学研究与评论,2005,25(2):327-343.

[3]匡继昌.常用不等式[M].3版.济南:山东科学技术出版社,2004.

[4]杨乔顺,高明哲.Hardy-Hilbert积分不等式的一个新推广及其应用[J].纯粹数学与应用数学,2005,21(1):91-98.

[5]龚焰,高明哲.关于广义Hardy-Hilbert积分不等式及其应用[J].纯粹数学与应用数学,2008,24(1):125-132.

[6]《实用积分表》编委会.实用积分表[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2006.

On the Hardy-Hilbert type integral inequality

PENG Lin,GAO Ming-zhe
(Department of Mathematics and Computer Science, Normal College of Jishou University,Jishou416000,China)

integral kernel function,weight function,Γ-function,Hardy-Hilbert integral inequality,the best constant

O178

A

1008-5513(2009)03-0541-05

2007-12-24.

湖南省教育厅资助科研项目(06C657).

彭琳(1972-),讲师,研究方向:函数论,概率论,微分方程.

2000MSC:26D15