多值半流理论及其在三维Navier-Stokes方程中的应用

宋雪丽,侯延仁

(1.西安交通大学理学院,陕西西安 710049;2.西安科技大学理学院,陕西西安 710054)

多值半流理论及其在三维Navier-Stokes方程中的应用

宋雪丽1,2,侯延仁1

(1.西安交通大学理学院,陕西西安 710049;2.西安科技大学理学院,陕西西安 710054)

利用多值半流方法研究三维有界区域上Navier-Stokes方程的全局吸引子,证得了多值半流的一些性质,并将这些性质应用于三维Navier-Stokes方程,得出了弱解的几种全局吸引子.从而表明在三维情形,通过多值半流来研究Navier-Stokes方程的全局吸引子是可行的.

Navier-Stokes方程;多值半流;吸引子

1 引言

Banach空间中的非线性算子半群理论是研究无穷维动力系统的定性行为的重要的数学工具.应用这种理论,在过去几年中,得到了关于发展微分方程的吸引子的许多结论[12].然而,这种理论不能应用到解不唯一的一类初-边值问题,例如三维Navier-Stokes方程.为了对诸如这类的微分方程系统进行定性分析,将一般的半群理论拓展到多值半群理论是非常必要的.为此,产生了多值动力系统理论.

目前,多值动力系统理论已经被应用到一些发展方程中去[34].1998年,Melnik[3]定义了多值半流理论,并将其应用到某类微分包含动力系统中,这类动力系统当初值给定时解不唯一.二维Navier-Stokes方程的全局吸引子的存在性无论是在有界还是无界区域上、自治还是非自治情形都已经得到解决[56].近几年,有一些关于三维Navier-Stokes方程的弱解的渐进行为的研究[710].三维情形有两个困难需要克服,一方面,尚不清楚三维Navier-Stokes方程的弱解是否唯一;另一方面,也是主要问题,即缺乏弱解关于时间的连续性,直至现在,只证明了弱解在相空间的弱拓扑下关于时间连续.

本文介绍了多值半流的基本概念,更进一步地讨论了多值半流的一些具体性质,并利用这些性质讨论了三维有界区域上自治Navier-Stokes方程的几个全局吸引子.

2 多值半流的基本概念

设X是一个完备的度量空间.R+=[0,+∞),P(X),β(X),C(X)分别表示X的所有非空、非空有界、非空闭集.

3 多值半流的一些具体性质

4 在三维Navier-Stokes方程中的应用

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[2]Temam R.Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M].New York:Springer-Verlag, 1988.

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[5]Rosa R.The global attractors for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains[J].Nonlinear Analysis,1998,32(1):71-85.

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The theory of multi-valued semiflow and its application to three-dimensional Navier-Stokes equations

SONG Xue-li1,2,HOU Yan-ren1

(1.College of Science,Xi’an Jiaotong University,Xi’an710049,China;
2.College of Science,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an710054,China)

This paper is using the multi-valued semiflow method to study the attractor of three-dimensional Navier-Stokes equation on some bounded domains,some properties of multi-valued semiflow are obtained.Then, applying these properties to three-dimensional Navier-Stokes equations,several global attractors of weak solutions are obtained.So,it indicate that using multi-valued semiflow to study the global attractor of Navier-Stokes equation in three-dimensional case is feasible.

Navier-Stokes equation,multi-valued semiflow,global attractor

O175.4

A

1008-5513(2009)04-0737-06

2008-03-31.

国家自然科学基金(10871156).

宋雪丽(1979-),博士生,讲师,研究方向：无穷维动力系统.

2000MSC:35B40,35B41