IS-模与IS-环

王尧,王德占

(1.南京信息工程大学数理学院,江苏南京210044;2.辽宁师范大学数学系,辽宁大连 116029)

IS-模与IS-环

王尧1,王德占2

(1.南京信息工程大学数理学院,江苏南京210044;2.辽宁师范大学数学系,辽宁大连 116029)

研究具有内射基座的环的性质,引入了IS-模与IS-环的概念.证明了环R的优扩张S是IS-环当且仅当R是IS-环.

IS-模;IS-环;优扩张

1 引言

Nicholson and Watters[1]对具有投射基座的环(PS-环)进行了研究,给出了一个环R是PS-环的一些等价条件;Liu Zhongkui[2]对具有平坦基座的环(FS-环)做了一些探讨,给出了一个环R是FS-环的一些等价条件.笔者受此两篇论文的启发,对具有内射基座的模(IS-模)与具有内射基座的环(IS-环)做了一些讨论,定义了IS-模与IS-环,给出了一个环R是IS-环的一些等价条件,证明了IS-环上的秩有限自由模是IS-模,环R的优扩张S是IS-环当且仅当R是IS-环.

本文中的环R都是含有单位元1的结合环,模都是左R-酉模.另外用N≤M,NM分别表示N是M的子模和本质子模.

2 IS-模

定义2.1称左R-模M是左IS-模,如果M的基座Soc M是内射左R-模;右IS-模可类似地定义.

例2.1若Soc M=0,则M是IS-模.

证明这是因为零模0是内射R-模.

例2.2半单环R上的每一个R-模都是IS-模.

证明这是因为半单环R上的每一个R-模都是内射R-模.

例2.3设R是QF-环,则M是PS-模当且仅当M是IS-模.

证明由文[3]的命题31.1和文[1]的定义2.1知,M是PS-模当且仅当Soc M是投射R-模,当且仅当Soc M是内射R-模,当且仅当M是IS-模.

命题2.1若M是IS-模,则Soc M是M的一个直和项.

虽然内射模的任意直积是内射模,但由于任意直积的基座未必等于基座的直积,故推论2.1中的有限直积不能改为任意直积;又由于内射模的任意直和未必是内射模,故命题2.2中的有限直和也不能改为任意直和.但我们有

定理2.2设R是左Noether环.若Mi,i∈I是IS-模,则⊕i∈IMi是IS-模.

证明由Mi,i∈I是IS-模,知Soc Mi,i∈I是内射R-模,于是由文[3]命题18.13知Soc(⊕i∈IMi)=⊕i∈ISoc Mi是内射R-模,从而⊕i∈IMi是IS-模.

定理2.3设R是左Artin环,M是非零的左R-模.若M是IS-模,则M是不可分解的.

证明设M是左Artin环上的左R-模,则由文[3]推论15.21知Soc MM.但由命题2.1, Soc M是M的一个直和项,于是存在M'≤M,使得M=Soc M⊕M',进而Soc M∩M'=0.因此由本质子模的定义,M'=0,于是Soc M=M,所以M的直和项只有M和0,故M是不可分解的.

定理2.4设M是非零的IS-模.若M是不可分解的,则M是半单的.

证明因M是IS-模,由命题2.1,Soc M是M的一个直和项.但M是不可分解的,M的直和项只有M和0,于是Soc M=M或Soc M=0.但M/=0,从而Soc M/=0,进而Soc M=M,故M是半单的.

3 IS-环

定义3.1称环R是左IS-环,如果RR是左IS-模;右IS-环可类似地定义.

例3.1半单环是IS-环.

例3.2若环R既是QF-环又是PS-环,则R也是IS-环.

定理3.1设R是任意环,则以下陈述等价:

(1)R是左IS-环;

(2)RR是左IS-模;

(3)SocRR是内射左R-模;

(4)SocRR是左自内射环.

证明(1)⇒(2)定义3.1.

(2)⇒(3)定义2.1.

(3)⇒(4)由左自内射环的定义即得(见文[3]第206页习题1).

(4)⇒(1)由左自内射环的定义,SocRR是内射R-模,从而由左IS-环的定义,R是左IS-环.

命题3.2设R是左IS-环,则存在幂等元e∈R,使得SocRR=Re.

证明由左IS-环的定义,RR是左IS-模,从而由命题2.1,SocRR是正则模RR的一个直和项,因此由文[3]命题7.1,存在幂等元e∈R,使得SocRR=Re.

命题3.3设R是非半单的左IS-环,则SocRR是R的非本质左理想.

证明由命题2.1知,SocRR是正则模RR的一个直和项,从而存在左理想0/=L⊆R,使得R=SocRR⊕L,于是SocRR∩L=0.但R是非半单的,SocRR/=R,从而L/=0,故SocRRRR,亦即SocRR是R的非本质左理想.

命题3.4若R是半单左IS-环,则R是左自内射环.

证明设R是半单的,则R=SocRR是内射R-模,从而由文[3]第206页习题1,R是左自内射环.

命题3.5若R是交换的Noether环,则以下条件等价:

从而由定理3.1和引理3.1,S是左IS-环当且仅当SocSS是内射左S-模当且仅当SocSS是内射左R-模当且仅当SocRR是内射左R-模当且仅当R是左IS-环.

推论3.1若G是有限群且◦(G)−1∈R,则交叉积R∗G是左IS-环当且仅当R是左IS-环.

证明由文[6],斜群环R∗G是环R的优扩张,从而由定理3.2即得结论.

推论3.2环R是左IS-环当且仅当矩阵环Mn(R)是左IS-环.

证明由文[7],环Mn(R)是环R的优扩张,从而由定理3.2即得结论.

定理3.3左IS-环R上的每个秩有限的自由R-模是IS-模.

证明设M是秩有限自由R-模,则由文[8],存在有限集F,使得M⊕i∈FMi,其中Mi=RR.由文[3]命题9.8,易证得Soc MSoc(⊕i∈FMi),于是由文[3]命题9.19, Soc M～=Soc(⊕i∈FMi)=⊕i∈FSoc Mi是内射R-模,故M是左IS-模.

定理3.4左Noether IS-环R上的任意自由R-模是IS-模.

证明设M是任意自由R-模,则由文[8],存在指标集I,使得M～=⊕i∈IMi,其中Mi=RR.由文[3]命题9.8,易证得Soc M～=Soc(⊕i∈IMi),于是由文[3]命题9.19,Soc M～=Soc(⊕i∈IMi)=⊕i∈ISoc Mi.又R是左Noether环,因而由文[3]命题18.13,⊕i∈ISoc Mi是内射R-模,进而M是IS-模.

[1]Nicholson W K,Watters J F.Rings with projective socle[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1988,102(3):443-450.

[2]Liu Zhongkui.Rings with flat left socle[J].Comm.Algebra,1995,23(5):1645-1656.

[3]安德森K W,富勒尔K R.环与模范畴[M].王尧,任艳丽,译.2版.北京:科学出版社,2008.

[4]Xue Weimin.On generalization of excellent extensions[J].Acta.Math.Vietnam,1994,9:31-38.

[5]Parmenter M M,Stewart P N.Excellent extensions[J].Comm.Algebra,1988,16(4):703-713.

[6]Passman D S.It’s essentially Maschke’s theorem[J].Rocky Mountain J.Math.,1983,13:37-54.

[7]Passman D S.The Algebraic Structure of Group Rings[M].New York:Wiley-Interscience,1977.

[8]Hungerford T W.Algebra[M].New York:Spring-Verlag,1974.

[9]董珺,刘仲奎.(I,K)-(m,n)-內射环[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(4):565-570.

IS-modules and IS-rings

WANG Yao1,WANG De-zhan2

(1.College of Mathematics and Physics,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China;2.Department of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian116029,China)

In this paper,we investigate the properties of rings with injective socle,introduce the concepts of IS-module and IS-ring,and show that if S is an excellent extension of R,then S is a IS-ring if and only if R is a IS-ring.

IS-module,IS-ring,excellent extension

O153.3

A

1008-5513(2009)04-0686-04

2008-09-26.

江苏省“333人才工程”基金.

王尧(1962-),博士,教授,研究方向：一般环论和代数表示论.

2000MSC:16W50