“不要读这一页上的任何文字”

上帝是万能的吗?如果是,那么请问,上帝能造出一块连他自己也举不起来的大石头吗?Yes or no? 这是一个典型的悖论。悖论包括一切与人的直觉或日常经验相矛盾的结论,那些结论会使我们惊异无比,或者陷入无休止的循环论证。

看看下面这些经典的悖论,你就能初步领略到悖论的魔力。

鸡蛋悖论——世界上是先有鸡还是先有蛋?

二分法悖论——一位旅行者赶往一个目的地。他必须先走完一半的距离,然后走剩下距离的一半,接着再走剩下距离的一半……永远有剩下距离的一半要走,因而这位旅行者将永远也到不了目的地!

埃普门尼德悖论——埃普门尼德是克里特岛人,他说:“所有的克里特岛人都是说谎者。”

理发师悖论——一个村庄里只有一位理发师,他只为所有不自己动手理发的人理发。试问,理发师自己的头发要由谁来理?

奥斯卡·王尔德悖论——“第一:我永远是对的;第二:如果我错了,请参见第一条。”

矛盾悖论——《韩非子》中有一则著名的寓言:“楚人有鬻盾与矛者,誉之曰:‘吾盾之坚,物莫能陷也。又誉其矛曰:‘吾矛之利,于物无不陷也。或曰:‘以子之矛陷子之盾,何如?其人弗能应也。”

悖论看似荒诞,却为逻辑思想的发展提供了动力。在数学史上,数学悖论曾导致了三次数学危机,有兴趣的同学可以自行查阅相关资料。

说到这里,亲爱的读者,还记得本文的标题吗?请诚实地回答:这个要求,你做到了吗?

反雪花曲线

上一期的杂志中我们介绍了奇妙的雪花曲线,它最大的特点就是能够在有限的面积里拥有无限的周长。如果我们把画雪花曲线的方向反过来又会出现怎样的情形呢?即在每一步中我们不是向外画而是向内画小等边三角形(如图1所示),同时把新三角形的底线(即原边的三等分中段)擦掉。

我们可以看到经过一次步骤得到的是汇集于一点的三个菱形(图1中的乙),有点像螺旋桨的叶片。把这个过程无限继续下去,我们会发现所构造出的反雪花曲线长度也是无限的,同时它始终在一个有限的区域里,即面积是有限的。