引导学生经历数学学习的一般探索过程

陆志洪

要让学生学会“数学地思维”，就要在教学中引导展开两个学习过程。即知识的生成过程和知识结论的理解、运用过程。在这两个过程中，学生的学习一般要遵循两个顺序，一个是知识本身的逻辑顺序，一个是学生认知发展的心理顺序。只有依据这两个顺序展开的学习活动，才能提升学生学习的主体性、能动性、独立性。所以，教师要从学生的认知心理出发，真正做到认知顺序同知识顺序、教学顺序的有机统一，让学生在富有探索性的过程中学习。为此，必须重视引导学生经历以下3个数学学习过程。

一、数学探索——经历动作、映象、符号的同构过程

布鲁纳认为，在人类智慧生长期间，要经历3个阶段：动作性表征、映象性表征、符号性表征，这3个阶段大致与皮亚杰的3个“运动阶段”相当。鉴于小学生的年龄特点和数学知识的抽象性。数学知识的学习过程也应体现这3个阶段，即应经历“动作操作——表象操作——符号操作”的过程。动手操作是学生观念的发端。是对知识直观层面的感知，没有学具和实践的操作，学生的有些认识几乎不可能发生；表象操作是连接动作操作和符号操作的中介，是对知识表象层面的具体又抽象的内化，忽视这一环节，直接把动作操作上升到符号操作，学生学习很难上升到抽象的符号文字水平；符号操作是通过符号对表象的再现，是对知识高度抽象概括，其中最重要的是语言，它为学生进一步展开高级思维提供了工具。只有有序地展开对同一知识的动作、映象、符号的同构探索过程，数学知识才能得以内化。布鲁纳还认为，即使人们达到了符号性阶段，当遇到研究新事物时，仍然极大地利用动作性和映象性表征去学习认识事物。可见这三者之间有相互促进的关系，动作和表象有利于抽象出符号，符号反过来有助于理解动作和表象，学生的学习只有在这种“具体、半具体、半抽象、抽象”之间来回展开，才能实现从具体到抽象的数学建构。

二、数学探索——经历数学化的凝聚过程

数学教育最为核心的目标就在于使学生学会“数学化”。郑毓信在《数学文化》一书中指出，所谓“数学化”是指如何由实际问题建构出它的数学模型，并应用数学的知识和方法去解决问题。其表现在两个方面：一是由定量到定性的研究思想：二是相对于实际问题而言，数学化的过程必然包含着一定的简化和理想化。所以，学生的数学学习应经历“现实题材——数学问题——数学模型——数学知识和方法”的过程。其中“现实题材——数学问题”由教师提出或由学生自己提出：“数学问题——数学模型”应是由学生自己的活动，从数学问题出发，或猜测出一个数学模型再加以验证，或由现实原型经过抽象转化成数学模型，或由众多例证归纳为一个数学模型。或由对因素的分析组成为一个数学模型，在这个过程中不仅有逻辑推理。而且有想象、类比、归纳、猜测等非逻辑推理：“数学模型——数学知识和方法”是从具体问题到抽象概念和方法的转化过程，是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程，也是一个从一般方法反思具体问题的过程。数学的学习只有展开了这个过程，学生才能实现从过程到对象的凝聚，体验到知识、方法和思想的发生、发展和提升。

三、数学探索——经历数学结构的建构过程

数学教材中很多重要的概念、原理、思想都是按照螺旋上升的原则编排的，所以，学生的数学学习应经历“简单结构——复杂结构”的过程。皮亚杰认为，人都有适应和建构的倾向，这两种认知发展的机能包括了同化和顺应两个过程。个体只有在从不平衡到平衡的不断交替中，认知才能得到发展。数学知识的生成依赖于学生自身的积极建构，有的学习是把外界元素整合到一个正在形成或已经形成的结构中，如把三位数乘两位数的整数乘法计算方法整合到两位数乘两位数计算方法中：有的学习是受同化元素的影响对原有结构发生改变，如用未知数表示数量关系是对用已知数表示数量关系的认知改变。学生数学学习的全过程，就是一个不断探索与建构的过程，随着学生数学认知结构的不断复杂，学习的整体迁移能力在自主生成的同时，也得以不断深化与拓展。