“鸡兔同笼”问题的解法探讨

李树清

摘 要：“鸡兔同笼”问题是我国古代数学趣题之一，也是当今小学数学课外活动专题之一。在小学阶段，应结合小学生已有的知识基础和生活经验，对“鸡兔同笼”类数学题进行多角度的解法探讨。

关键词：小学数学；鸡兔同笼问题；解法探讨

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2009）03-0050-02

“鸡兔同笼”问题是我国古代趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话用现代数学语言说意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中鸡和兔各有几只？

这就是鸡兔同笼问题，通常情况下，人们喜欢用假设法来解答此类问题。假设法是一种常用的解题方法，用假设思想解应用题，首先要根据题意正确地判断应该怎么假设（一般可假设要求的两个或几个未知量相等、或者假设要求的两个未知量是同一种量）；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化，怎样从所给的条件与变化了的数量关系的比较中做出适当的调整，从而找到正确的答案。

解法一：假设他们全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设条件下一共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差两只脚就说明有一只兔，将所差的脚数除以二，就可以先算出一共有多少只兔，进而算出有多少只鸡。

兔子的只数：（９４－３５×２）÷（４－２）＝１２（只）

鸡的只数：３５－１２＝２３（只）

解法二：假设它们全是兔，则应有４×３５＝１４０（只）脚，现在有９４只脚，少了１４０－９４＝４６（只）脚，原因是把鸡全都假设成了兔子，一只鸡比一只兔子少２只脚，所以，鸡的只数就可以求出来了。

鸡的只数：（４×３５－９４）÷（４－２）＝２３（只）

兔子的只数：３５－２３＝１２（只）

解法三：运用假设法解题逻辑思维性较强、比较抽象。我们还可以运用列表枚举法来解答此类问题。

从上表的枚举可以看出兔子有12只，鸡有23只。

解法四：列表枚举法虽然形象、易懂，但很麻烦，运用方程法来解答更简略些。

1） 解：设兔子有x只，则鸡有３５－x只，则兔脚有４x只，鸡脚有２×（３５－x）只，依据题意得：

４x+２×（３５－x）=94

解得x=12 35－12=23（只）

所以兔子有12只，鸡有23只。

2） 解：设鸡有x只，则兔有３５－x只，则鸡脚有2x只，兔脚有4×（３５－x）只，依据题意得：

2x+4×（３５－x）=94

解得 x=2335－23=12（只）

所以鸡有23只，兔子有12只。

解法五：鸡兔同笼问题一般都是用以上几种解法来解答，思维的角度是用算术、方程，能否把鸡兔同笼问题转变成一道更加直观、形象、容易解答的几何图形题呢？我们来看这样一个图形：

图形中AB＝３５，BC＝２，AF＝４，图形AHEF和图形HBCD的面积和为９４，求AH＝？HB＝？

这道题就是鸡兔同笼问题的一种几何图形表达形式，AH为兔子的只数，HB为鸡的只数，AB表示鸡兔共有３５只，BC＝２表示每只鸡有２只脚，AF＝４表示每只兔有４只脚，图形AHEF和图形HBCD总面积为９４表示鸡兔共有９４只脚。最后求AH＝？即兔有多少只？HB＝？即鸡有多少只？

这道题巧妙地应用了长方形的面积＝长×宽。

兔的只数×每只兔４只脚 ＋ 鸡的只数×每只鸡２只脚 ＝ 鸡兔共有９４只脚

AH × AF ＋ HB × BC = 94

长方形AHEF的面积 ＋ 长方形HBCD的面积= 图形总面积为９４

延长CD交AF与G，在长方形ABCG中，已知AB的长度和BC的长度，则长方形ABCG的面积很容易求出，长方形AHEF和长方形HBCD的面积和已知，减去长方形ABCG的面积，那么可以求出长方形GDEF的面积，由于GF=GA=BC=2，在长方形GDEF中，已知面积和GF的边长，EF可以求出，EF＝AH，已知AB的长度，则HB也可以求出，这样，AH即兔有多少只，HB即鸡有多少只即知。

解：在图形中线段AH表示兔有多少只，HB表示鸡有多少只，总面积９４表示鸡兔共有９４只脚，BC表示每只鸡有２只脚，AF表示每只兔有４只脚，延长CD交AF与G，在长方形ABCG中，AB＝３５，BC＝２，则长方形ABCG的面积：３５×２＝７０，长方形AHEF和长方形HBCD的面积和为９４，则长方形GDEF的面积的面积：９４－７０＝２４。由于GF=GA=BC=2，所以EF＝２４÷２＝１２，EF=AH，则AH＝１２，即兔有１２只，HB＝３５－１２＝２３，即鸡有２３只。

对于要同时考虑两个因素的类似“鸡兔同笼”问题的一些应用题，如果用长方形的长和宽分别表示两个不同的因素，画出长方形来，再利用长方形的面积进行分析，往往解题思路十分快捷。

“鸡兔同笼”问题的解法是多种多样的，从不同的思维角度往往能探索出更新的解法，从而满足不同学生的发展需要，大家不妨一试。

【责任编辑 高洁】