深化数学概念理解的要求与策略

戴厚祥　吕长春

“概念”是用符号来标志的具有共同的关键属性的一类事物或特性。概念是数学基础知识的重要组成部分，学习概念有利于促进思维，提高小学生的认识能力；学习概念有利于简化知识，使小学生的知识更加条理化；学习概念有利于丰富知识，为学生的知识创新储备能量，总之教给学生正确、清晰、完整的数学概念是提高数学教学质量的根本。

“理解”是指对所学知识的理性认识，能够用语言表述它的确切含义，知道它的用途及与其他知识的联系和区别。“知道”是指对所学知识有感性的初步的认识，能够说出它所指的是什么，并能识别它。“理解”是比“知道”更高层次的抽象的思维活动。

新课程下，我们不难见到由于一味地过度追求生活化、趣味化和教学的流畅，淡化了数学教育最为本质的特征——数学化，“浮光掠影”式的概念教学屡见不鲜，表面的喧闹替代了学生本应进行的深层次的思考，因为缺乏深刻的理解，学习效果令人担忧。学生理解概念应达到以下三点要求：①明确概念的内涵和外延。②明确这个概念和其他一些概念的关系。③能正确运用概念。概念的掌握是一种特殊的认识活动，需要经历复杂的心理过程，教师必须遵循学生掌握概念的心理过程和认知结构的发展规律，充分发挥表象的“中介”作用，让学生利用表象作“渡船”，从感知的此岸顺利到达抽象思维的彼岸。

下面笔者以苏教版数学教科书第九册《循环小数》为例，谈谈数学概念教学促进学生深刻理解的几点做法。循环小数的定义字数多且拗口，学生对循环小数的意义较难理解，表达它的确切含义更加困难，怎样引导、促进学生深刻理解循环小数的意义？我主要采取以下几个环节进行教学：

一、丰富感知，深化概念的表象

感性知识是理性知识的源泉，理解知识必须在感性知识的基础上才能形成。感性知识愈丰富、愈完善，理性知识也就愈顺利、愈牢固。因此我们必须先将抽象的知识“物化”，让学生通过操作、观察，逐步领会和理解，“内化”为头脑里的知识。这一阶段主要是让学生通过感知活动，获得感性认识，形成表象基础。

1、引导学生观察。观察是一种有意识、有目的的知觉活动，是学生认识事物的基础。教师用简明的语言指导学生观察，告诉学生注意观察什么并且启发学生把眼前看到事物和已有的知识经验联系起来，正确理解所观察的事物，如教学中教师首先让学生注意观察一组动物图片出示的规律，让学生猜猜后面的图片会怎样出现？在图片后面添上“……”表示的意思是什么？让学生初步感知“依次不断”、“重复出现”等词的含义。

2、联系生活感悟。学生在现实生活和学习中已经积累了一些感性知识，教者可以联系学生的实践，通过形象的语言描述唤起学生的回忆，使学生通过形成的表象重现，并且激发学生的想象，作为建立新概念的基础。如让学生举例说说生活中有没有见过类似“依次不断地重复出现”的循环现象？如火车轮跑动时发出的咔嚓、咔嚓……的声音；春、夏、秋、冬四季的更替等等。这样联系生活让学生进一步加深对“循环”的感悟。

3、经历计算体验。“循环小数”的产生很难用物质化的形式表达出来，但可以通过组织学生进行计算，使学生从计算中获得数理经验。如让学生进行小数除法的计算：①4÷3=（1.33……），②58.6÷11=（5.32727……），要学生一边计算每次除得的商和余数，同时思考：当余数重复出现时继续除下会得到什么结果呢？让学生认识到这表示商中将会有数字重复出现。通过让学生亲历计算过程，体验感受计算中的循环现象。

二、抽象概括，明晰概念的外延和内涵

学生由直观感知所获得的对于概念的认知是粗略的、肤浅的，因此在演示和计算结束后，不要匆忙进行概括，要通过分析和比较，使表象由模糊到清晰，由分散到集中，从而抽象出共同的本质属性，形成完整的、准确的概念。

1、理顺认识次序。教材是学习的资源，不是圣经，教师是“用教材教并不是”“教教材”，教材上的编排是先学习循环小数再学习有限小数与无限小数。我根据学生认识数的规律对教材进行了改造。首先让学生观察和比较二题商的区别，认识有限小数和无限小数，再比较两个无限小数的特征，认识循环小数，这样调整教材顺序，也比较符合学生的认识规律。

2、启发比较概括。针对两个无限小数，教师出示讨论题，让学生自主观察、合作交流，通过生生互动与教师的启发引导，比较概括出两个数的小数部分的相同点和不同点，教师通过点拨、引导，适时地板书关键词语：依次不断的重复出现、一个或几个数字、小数部分的某一位起。概念学习的实质是掌握同类事物的共同的关键特征。这样通过比较、慨括，让学生清楚了解循环小数意义的内涵。

3、自我语言表达。教师明确指出符合这些特点的小数就叫做循环小数。那究竟什么是循环小数呢？让学生自己尝试用语言表述出来。语言是思维的外壳，语言的条理性反映思维的有序性，由于前面已有了充分的感知和抽象，故而学生能够水到渠成的概括出循环小数的意义。

三、巩固利用，促进概念的深层理解

小学生对概念的掌握不是一次就能完成的。需要由具体到抽象，再由抽象到具体多次重复，所以当学生初步建立新概念后，需要应用多种方法，促进概念在学生认知结构中的保持，并通过不断的运用概念，加深对概念的理解。

1、对概念进行“精加工”。学生既可对概念作表面的加工（只注意概念的准确词句）也可以作深入的心理加工（对概念的意义深刻的思考）。信息加工理论的研究表明：意义的编码越深刻越精细，即加工水平越深，记忆就越好，因此学生初步建立概念后，要引导学生对概念的意义做多方面的深入思考。例如：学生获得“循环小数”的概念后，要引导学生从以下几个方面对循环小数概念的意义作进一步加工。（1）领会定义中的关键词语。让学生自己说说看意义中的关键词语是哪些？你是怎么理解的？（2）分块记忆。可导学生将概念的定义划分成合理的组块，帮助学生很好地记住概念的信息，以方便提取。例如，循环小数的概念可以划分为三个组块：①一个小数，②从小数部分的某一位起，③一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。（3）运用双重编码。如果一个材料不仅有形象编码而且有语义编码，则被视为双重编码，如果编码的理论认为，双重编码的材料能持久保持，数学中的概念教学中要充分利用这一点。而且可以找到具体形象加以想象。如在学生建立循环小数的概念后，让学生闭上眼睛在头脑想一个循环小数写出来，再用自已喜欢的一个方式表示出循环小数的形象。生1：□，○○……；生2：a.bcc……等，学生将概念的模型深入的印在头脑中，即使意义遗忘，也能根据表象重建概念，同样有利于发展学生的形象思维、直觉思维与发散思维的能力。

2、建立概念间的“关系树”。学生存入记忆的概念组织得越好，提取越容易，让学生自己按概念间的关系对概念加以整理，并在脑中记住这种组织，更有利于提取。例如《循环小数》一课中的概念很多，如果仅是使学生掌握各个概念，这些概念以“堆”的形式散乱的、无序的存在于学生头脑中，成为未经消化的、没有整体功能的知识堆积，不仅记忆困难而且不能用来分析和解决问题。因此帮助学生贯通概念间的联系，建立有关循环小数的“关系树”；小数这样清楚地显示这些概念之间的并列关系和属种关系，充分揭示知识发展的脉络，使学生掌握完整的概念系统，才能理解深刻、记忆牢固。

3.在概念应用中深化理解。概念的应用是掌握概念过程中一个不可缺少的阶段，通过应用可以加深理解，增强记忆。如学习了循环小数概念之后，组织下例不同层次的练习。（1）看一看，想一想，下列数中哪些是循环小数，哪些不是循环小数，为什么？①0.33……②3.155③3.14159……④7.5858……这一组数让学生运用概念作出判断，以加深理解循环小数的意义，在练习中要引导学生说出判断的思维过程，如3.155这个小数部分虽然有数字重复出现，但它的小数位数不是无限，所以它不是循环小数。（2）自己写出几个循环小数，并用简便写法表示，同桌相互检查，并说明写出的数是循环小数的理由。这一层次的练习是让学生从循环小数的外延中找出事例，并用其内涵加以分析判断，可培养学生说理的能力。（3）计算下面各题：①2÷6②4.8÷11③2.5÷9，指出哪些商是循环小数，并说出它的循环数字，使学生进一步从练习中体会到可以从余数是否重复出现来判断商是否是循环小数。