综合运用数学思维方法 发展学生数学思维能力

谢惠良

师：今天，我们一起来学习——平行四边形的面积计算。每个小方块的面积是1平方厘米，你能知道下面图形的面积是多少吗?

电脑逐个出示：

师：(电脑出示下图)你能想办法求出这个平行四边形的面积吗?(学生独立思考，动手操作，尝试计算平行四边形的面积。教师巡视。)

师：你量了平行四边形什么的长度?怎样计算它的面积?

生：我量了平行四边形的底是7厘米，旁边的一条边是5厘米，算式是7×5=35(平方厘米)。

生：我量了平行四边形的底是7厘米，高是4厘米，算式是7×4=28(平方厘米)。

师：同学们，同一个平行四边形的面积怎么会有两个答案呢?到底怎样思考才是正确的呢?(学生前后四人小组进行讨论。)

师：请小组代表说说你们是怎么思考的。

生：我们沿着平行四边形的高把图形剪开，将左边的三角形拼到右边，正好是个长方形，它的长是7厘米，宽是4厘米，面积是28平方厘米。

师：把平行四边形割补成长方形，图形的什么变了，什么没有变?

生：图形的形状变了，面积大小没有变。

师：所以，原来的平行四边形的面积是28平方厘米。

师：那么，用平行四边形的底7厘米乘旁边的边5厘米，计算出面积35平方厘米，你认为对不对?你知道他们怎么会想到这种方法的吗?

生：他们是这样想的：计算长方形面积时用长方形的长和宽这两条相邻边相乘，所以，计算平行四边形面积也用两条相邻边相乘。

师：XX同学你刚才是这样想的吗?

生：是的。

师：你敢于思考，真好!但这种想法是不是正确呢?让我们一起来检验吧。

师：现在，老师把长方形拉成平行四边形。平行四边形的底及邻边的长各是多少?面积与原长方形相比，怎么了?(见上图)

生：底与邻边的长分别是7厘米和5厘米，但面积比刚才的长方形面积小了。

师：如果继续往下拉，你们想一想平行四边形的面积将会怎么变化?

生：平行四边形的面积将会变得更小。

师：从中你们发现什么?

生：平行四边形的面积不能用底与邻边相乘，而应该用割补的方法将平行四边形转化成长方形来算出它的面积。

师：是不是所有的平行四边形都能用割补的方法转化成长方形，从而来求出它的面积呢?请同学们拿出各自的平行四边形，动手剪剪拼拼，看看行不行。(学生进行操作实践，加以验证。)

师：你们手中的平行四边形能不能转化成长方形?谁愿意在投影仪上演示给大家看?(学生争着上来演示：沿着平行四边形的高剪开，拼成长方形。)

师：有没有不能拼成长方形的?(学生都认为没有。)

师：由此看来，对于任何一个平行四边形，要计算它的面积，我们都可以怎么想?

生：我们都可以用割补的方法将平行四边形转化成长方形来算出它的面积。

师：怎么计算平行四边形的面积呢?(学生分组讨论。)

师：现在你能告诉大家，计算平行四边形的面积为什么用平行四边形的底乘高?

生：因为用割补的方法把平行四边形转化成长方形，面积不变。我们发现，长方形的长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高，所以平行四边形的面积是底乘高。

结合学生回答，教师电脑演示。(略)

[评析]

上述教学案例，从思维方法的运用角度进行分析，体现了以下几个特色：

一、放手让学生从自己的思维实际出发，主动运用探索、发现性的思维方法，对新的数学问题进行尝试探索，猜测验证结论，有效地培养了学生的探索精神和探究新知识的能力。

教师首先出示三个图形让学生通过比较，在直观的基础上。利用图形的转化，直接说出了它们的面积，渗透了转化的数学思想方法。这样，学生面对“计算平行四边形的面积”这一新问题，就很自然地得到了两种猜测：用平行四边形相邻两边相乘(以前学习的长方形面积计算公式等知识的负迁移)和用平行四边形的底乘高(转化思想方法的运用)。进而。教师提出“同一个平行四边形的面积怎么会有两个答案呢?”的问题，激发学生一探究竟。学生通过实验验证了“用底乘高”的猜测是正确的，通过观察图形的动态变化，在比较中发现“用相邻两边相乘”是错误的。

二、以数学知识教学为载体。启发学生运用求证、整理性的思维方法，对发现的结论进行逻辑的论证，培养了学生的逻辑思维能力与数学精神。

在学生算出了平行四边形(底7厘米，高4厘米)的面积后。提问：对于任意一个平行四边形是不是都可以用这样的方法去算出它的面积呢?让学生再通过实践操作进行验证推广。渗透从特殊到一般的推理方法：进而提问：计算平行四边形面积为什么用平行四边形的底乘高?启发学生运用逻辑推理。根据平行四边形与割补后的长方形之间的关系，推导出平行四边形的面积计算公式，再将其公式抽象成字母表达式。

三、根据数学知识发现的一般规律，将数学思维方法综合运用，让学生在“大胆猜测，小心求证”的过程中，发展主动获取知识的能力和受到科学思想方法的启蒙。

上述教例，采用先让学生“大胆猜测”，再进行“小心求证”的教学思路。这样的过程，既不同于由一般到特殊的演绎过程，也有别于由具体到一般的归纳过程。它是一种发现并填补认知的空隙。即定向探索解决问题的研究过程，这符合数学知识发现的一般规律，因而具有比较一般的方法论意义。在这一过程中。学生首先运用了侧重于发现性的思维方法，大胆猜测结论，在初步验证结论的基础上，再运用侧重于整理性的思维方法，小心求证结论。这样的数学思维方法组合运用。有效地训练了学生综合运用思维方法主动获取知识的能力。