有理数复习指导

杜友平

一、复习目标及建议

本章的概念、法则较多，要着重在应用中加强理解，在理解中强化记忆，要注意有理数与小学知识的区别与联系.进行有理数的运算，关键是确定运算结果的符号.同时还要注意，减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法，要灵活运用运算律化简运算.

二、重要知识点回顾

1. 主要概念

（1）负数：叫做负数.

对于负数应这样理解：①我们把小学学过的自然数（0除外）前面加上“-”，就变成了负数；②负数在实际中表示的意义与正数相反；③带“-”的并不一定都是负数，如-a，-（-2）等.

（2）有理数：统称有理数.

①整数除正整数、0外，还有负整数；②分数除正分数外，还有负分数；③圆周率π是无限不循环小数，不能化成分数，所以不是有理数；④有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数.

（3）数轴：叫做数轴.

它的三要素是：①；②；③.

（4）相反数：的两个数互为相反数.

相反数的代数意义是，几何意义是.求任意一个数的相反数实际上是在这个数前面加上.

（5）绝对值：叫做数a的绝对值.

绝对值的性质是：的绝对值是它本身；的绝对值是它的相反数；0的绝对值是.

（6）倒数：互为倒数.

的倒数是其本身，没有倒数.

（7）乘方：叫做乘方.乘方的结果叫做.

（8）科学记数法：叫做科学记数法.用科学记数法表示一个较大的数时，1≤|a|<10，n是原数的所有整数数位减1.

（9）有效数字：都是有效数字.

2. 主要法则与规律

（1） 法则

①有理数的加法法则：.

②有理数的减法法则： .

③有理数的乘法法则：.

④有理数的除法法则：.

⑤有理数的乘方的符号法则：.

（2） 运算律

①加法交换律：a+b=.

②加法结合律：（a+b）+c=.

③乘法交换律：ab=.

④乘法结合律：（ab）c=.

⑤乘法分配律：a（b+c）=.

（3）有理数混合运算的顺序为：①；②；③.

三、考点透视（所选例题均为中考题）

考点1：考查有理数的有关概念

例1（2008年泰州市）化简-（-2）的结果是 （）.

A．-2 B．- C． D． 2

这道题考查符号运算，-（-2）=2.选D.

解决此类问题，关键是弄清有理数的概念与各类数的特征，不要被表面现象所迷惑.

考点2：考查数轴、相反数、倒数的概念

例2（1）（2008年威海市）点A、B、C、D在数轴上的位置如图1，其中表示-2的相反数的点是.

（2）（2008年资阳市）如图2，在数轴上到原点的距离为3个单位长度的点有（）.

A． D点 B． A点

C． A点和D点 D． B点和C点

（1）先要确定-2的相反数，然后再在数轴上找到表示这个数字的点，填B点.（2）通过观察数轴可知，A、D两点到原点的距离都为3，选C.

互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1.正确理解相关概念的本质是解决此类问题的关键.

考点3：考查绝对值的有关运算

例3（2008年芜湖市）若|m-3|+（n+2）2=0，则m+2n的值为（）.

A．-4 B．-1 C． 0 D． 4

由于|m-3|≥0，（n+2）2 ≥0，而|m-3|+（n+2）2=0，所以|m-3|=0，（n+2）2=0，即m=3， n=-2， 所以m+2n=-1.选B.

一个数的绝对值的几何意义是数轴上表示这个数的点到原点的距离，所以绝对值应是非负数.几个非负数的和等于0，则这几个非负数同时为0.

考点4：有理数大小的比较

例4（1）（2008年湛江市）在-2、0、1、3这四个数中，比0小的数是（）.

A.-2 B. 0 C. 1D. 3

（2）（2008年郴州市）有理数a、b在数轴上的位置如图 3，则a与b的大小关系是（）.

A． a > b B． a=bC． a < b D． 不能判断

对于具体的数，我们可以直接比较大小，对于用字母表示的数，我们可以借助数轴来比较大小.

（1）选A，（2）选C.

有理数比较大小的两个重要方法：（1）两个负数相比较，绝对值大的反而小，正数>0>负数；（2）数轴上右边的数总比左边的数大.

考点5：考查有理数的运算

例5（1）（2008年大连市）某市某天的最高气温为6℃，最低气温为-2℃，该市这一天的最高气温比最低气温高℃.

（2）（2008年湘潭市） 如图4，数轴上A、B两点所表示的两数的（）.

A. 和为正数 B. 和为负数

C. 积为正数 D. 积为负数

（3）（2008年江西）计算（-2）2-（-2）3的结果是（）.

A. -4B. 2C. 4D. 12

（1）需要进行简单的有理数加减运算，填8.

（2）从数轴上可以看出，一个为正数，一个为负数，并且它们互为相反数，所以它们的和为0，积为负数.选D.

（3）根据有理数混合运算的规则，先进行乘方运算，然后再进行减法运算.选D.

对于有理数的混合运算，应按如下口诀进行：加法运算要熟练，减法运算会转换，乘除要将符号判，运算顺序严把关，运算定律要牢记.

考点6：考查乘方的意义及有关运算

例6（1）（2008年嘉兴市）计算（-3）2的结果是（）.

A．-6 B． 6 C．-9 D． 9

（2）（2008年苏州市）计算（-1）2 008 的值为．

（1）要注意（-3）2与-32的区别，选D.（2）负数的偶数次方是正数，填1.

乘方是有理数的一种重要运算，要正确理解其意义及运算法则.

考点7：考查科学记数法、有效数字、近似数的意义

例7（1）（2008年盐城市）2008年北京奥运会圣火在全球传递的里程约为137 000 km，用科学记数法可表示为（）.

A． 1.37 × 103 km B． 137 × 103 km

C． 1.37 × 105 km D． 137 × 105 km

（2）（2008年义乌市）据统计，2007年义乌中国小商品城市场全年成交额约为348.4亿元，连续17年位居全国市场榜首.近似数348.4亿的有效数字有（）.

A. 3个B. 4个C. 5个 D. 6个

（1）整数部分共有6位，所以n取5，a=1.37.选C.（2）从3开始，后面的数字都是有效数字，共有4个有效数字.选B.

对于科学记数法和有效数字，要正确理解其意义.用科学记数法表示一个较大的数时，要正确确定a和n的值.数一个数的有效数字要从左边第一个不是0的数字数起，到末位数字止.

考点8：考查新题型

例8（2008年贵阳市）符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…；

f（）=2，f（）=3，f（）=4，f（）=5，….

利用以上规律计算：f（）-f（2 008）=．

这是一道阅读理解题，根据材料给定的法则与规律可知，f（）-f（2 008）=2 008-2 007=1.

解决阅读理解类问题，要认真阅读材料，在观察其过程的基础上进行分析、探索、比较、归纳、猜想，进而找到规律.

四、小试身手

1. a、b两个数的积为负数，和为负数，那么这两个数的情况可能是.

2. 若（a-1）2+（b+2）2+|c-3|=0，则（a+1）（b-2）（c+3）=.

3. 2008年9月25日，我国成功发射了“神舟”七号宇宙飞船，飞船的飞行速度大约是7.5 km/s，绕地球飞行一周的时间大约是90 min.宇航员在太空中绕地球一圈（速度与飞船速度相同）的路程大约是 km（用科学记数法表示）.

4. 观察下列按顺序排列的等式：0+1=12，2 × 1+ 2=22，3 × 2+3=32，4 × 3+4=42……请你猜想：第10个等式应为．

5. 计算：

（1）- × -2+ ÷ 1.52.

（2） ÷ -+.

6. x与y互为相反数，m与n互为倒数，|a|=1.求a2-（x+y+mn）a+（x+y）2 008+（-mn）2009的值.

7. 有一辆执行任务的警车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，这辆车从出发地开始所走的路程（单位：km）为：+3，-2.5，+5，-8，-1.5，+2，-1.

（1）此时，这辆车的司机如何向队长描述警车的位置？

（2）如果队长命令警车司机马上开车返回出发地，则这次巡逻共耗油多少升？（每千米路程耗油aL，巡逻的路程包括返回的路程）

8. A、B两点在数轴上相距7个单位长度，且A点在B点的左边.将A点每秒向右移动2个单位长度，B点每秒向左移动3个单位长度.已知A、B两点同时开始移动，经过5 s后，A点与数轴上的数字8对应.

（1）A点最初与数轴上哪一个数字对应？

（2）B点最初与数轴上哪一个数字对应？

（3）B点最后与数轴上哪一个数字对应？

（答案在本期找）

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。