转化让我尝到了“甜头”

杨璐铭

平时学习数学，老师总强调要注意运用数学思想解决问题，可我一直体会不到数学思想对解题有多大帮助. 学习了平移与旋转后，利用平移与旋转变换将复杂的问题转化为简单的问题，使我尝到了巧妙解决问题的快乐，体会到了转化思想给我带来的甜头，如果你不信，请你跟我走.

如图1，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆半径为2，则图中阴影部分的面积为.

根据已知条件，阴影部分的面积不能直接求，怎么办呢？三条直径把大圆分成相等的六部分，同时也把小圆分成相等的六部分……啊哈，有了，如果利用旋转的方法，便可以将阴影部分全部集中到一起，恰好组成一个半径为2的半圆，因此图中的阴影部分面积为：π×22=2π.

怎么样，利用旋转将分散的不规则图形集中到一个规则的图形中去，再利用规则图形的性质解决问题，这种转化方法妙吧，更妙的还在后面呢！

如图2，在一块长为51 m，宽为21 m的长方形草地上，有两条分别穿过长、宽的弯曲的小路，小路任何地方的水平宽度都是1 m，求草地的面积是多少.

草地的面积等于长方形的面积减去小路的面积，可小路是弯曲的，形状不规则，不能直接求.由于小路任何地方的水平宽度都是1 m，小路可看做一条弯曲的线平移1 m得到的，每条小路两边的部分可通过平移移到一起……有了，假设先将一条小路剪去，如图3，去掉了穿过长的小路，将小路的两边部分移到一起，得到了一个新长方形.再去掉穿过宽的小路，再平移，如图4，这样得到了一个长为50 m，宽为20 m的草地，其面积为（51-1）×（21 - 1）=1 000（m2）.

怎么样，利用平移的方法也能将不规则图形集中到一起，转化为规则图形，这种方法是不是更妙！别着急，还有呢.

如图5，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离，就得到此图形，其中AB=10 cm，BE=6 cm，DH=4 cm，求阴影部分的面积.

由平移的性质可得阴影部分是个梯形，此梯形只知一腰DH的长，无法直接求面积.平移不改变图形的形状与大小，△HEC是平移前后两直角三角形重叠的部分.好！两直角三角形的面积都减去△HEC的面积，其差相等，即阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，S梯形ABEH=（AB+EH）·BE，由于EH=DE-DH=AB-DH=10-4=6，所以S梯形ABEH= × （10+6）×6=48，因此阴影部分的面积为48 cm2.

这道题抛开图形的形状，只考虑图形的面积，从而达到了面积转化的目的，是不是也很妙呢？

现在，你是否也体会到转化思想的奥妙了呢？赶快拿起笔来试试吧！（指导老师：刘书妹）

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。