斐波那契数列

周启东

蜜蜂是勤劳的，也是可爱的，下面就请同学们来思考一个与蜜蜂有关的数学趣题.

假定有一排蜂房，形状如图1，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，它只能始终向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去.例如，蜜蜂到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号.共有2种不同的爬法.同学们知道蜜蜂从最初位置到4号蜂房共有多少种不同的爬法吗？

要求出蜜蜂从最初位置到4号蜂房共有几种不同的爬法，就得由简到繁、一步一步来.

很明显，按规则，蜜蜂从最初位置到0号蜂房只有唯一的一种爬法.从最初位置到1号蜂房有2种不同爬法：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号.同样的道理，蜜蜂从最初位置到2号蜂房有3种不同爬法：蜜蜂→0号→2号；蜜蜂→1号→2号；蜜蜂→0号→1号→2号.蜜蜂从最初位置到3号蜂房有5种不同爬法：蜜蜂→1号→3号；蜜蜂→0号→2号→3号；蜜蜂→0号→1号→2号→3号；蜜蜂→1号→2号→3号；蜜蜂→0号→1号→3号.

现在不难看出，蜜蜂要是想从最初位置爬到4号蜂房，那它在到4号蜂房之前，最后一个落脚点不是2号蜂房就是3号蜂房.所以蜜蜂从最初位置到4号蜂房的不同爬法的总数，就是它从最初位置到2号蜂房的不同爬法的总数与它从最初位置到3号蜂房的不同爬法的总数的和.因此蜜蜂从最初位置到4号蜂房的不同爬法的总数为3+5=8.

如果还有5号蜂房、6号蜂房、7号蜂房……继续算下去就会得到下面的一组数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，

144，….

如果这列数前面再加上一项1，那么就成了很有名的斐波那契数列.

列昂纳多·斐波那契是意大利的数学家.他是一个商人的儿子.儿童时代跟随父亲到了阿尔及利亚，在那里他学到了许多阿拉伯的算术和代数知识，从而对数学产生了浓厚的兴趣.

长大以后，因为商业贸易关系，他去过许多国家，到过埃及、叙利亚、希腊、西西里和法兰西.每到一处他都留心搜集数学知识.回国后，他把搜集到的算术和代数材料，进行研究、整理，编写成一本书，取名为《算盘之书》，于1202年正式出版.

这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和总结，它推动了欧洲数学的发展.从此，阿拉伯数字在欧洲通行起来.

在这本书中有一道“兔子问题”：

一个人到集市上买了一对小兔子，一个月后，这对小兔子长成一对大兔子.然后这对大兔子每过一个月就可以生一对小兔子，而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子，长成大兔子后也是每经过一个月就可以生一对小兔子.那么，从此人在市场上买回那对小兔子算起，每个月后，他拥有多少对兔子？

这是一个有趣的问题.可以这么推算:

第一个月后，小兔子刚长成大兔子，还不能生小兔子，所以只有一对大兔子.

第二个月后，大兔子生了一对小兔子，他有了一对小兔子和一对大兔子.

第三个月后，原先的大兔子又生了一对小兔子，上月出生的小兔子也长成了大兔子，他共有一对小兔子和两对大兔子.

第四个月后，两对大兔子各生一对小兔子，上月出生的小兔子又长成了大兔子，他共有两对小兔子和三对大兔子.

第五个月后，三对大兔子各生一对小兔子，上月出生的两对小兔子也长成了大兔子，他共有三对小兔子和五对大兔子.

……

以此类推，可得到每月兔子对数为一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….

这是一个很有规律的数列，从第三项起，每一项都是紧接着它的前面两项的和，这个数列可以无穷尽地向大数发展.人们为了纪念这位“兔子问题”的创始人，就把这个数列称为“斐波那契数列”．

该数列有很多奇妙的属性.比如：

随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近0.618 033 988 7…….

还有一个性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1.连续4项中，中间两项的积与外面两项积的差是1或-1.

上面的知识同学们懂了吗？下面的问题就请你们来完成吧!

人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，那么小聪上这９级台阶共有多少种不同方法？（参考答案：55）

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。