利用（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）＝（ａｃ＋ｂｄ）２……ａｄ＝ｂｃ解题

陈艺文

定理 (a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)2成立的充要条件是ad=bc.

略证 (a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)2赼²d²+b2c²=2abcd(ad-bc)²=0赼d=bc.

许多貌似较难的含等式的数学问题，往往可以先将其中的等式演变成形如(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)2的等式，然后根据上述定理，把它转化为ad=bc这一简单形式，从而使问题得到简洁优美解决.

一、用于证明等式

例1 已知a,b∈R且a1-b2+b•1-a2=1，求证a2 +b2=1.(第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”