立意新 设计巧

王元凯

2008年安徽省中考数学试卷的最后一道压轴题是这样的：

刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发赶往30千米外的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a(0≤a≤3)小时再赶往A镇参加救灾. 一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路. 已知一分队的行进速度为5千米／时，二分队的行进速度为(4+a)千米／时.

(1)若二分队在营地不休息，问二分队几个小时能赶到A镇?

(2)若需要二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几个小时?

(3)下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明它们的实际意义.

1 分析与解

分析 解决第(1)问的关键是考虑二分队在行进过程中是否在塌方处受阻，若受阻则应计算出停留时间；解决第(2)问须结合题意进行分类讨论，并能准确理解字母a的含义：解决第(3)个问题的关键是能看出图象的变化趋势，准确理解图像上每段的起点、终点在情境中的实际意义，并能对图象①和图象②进行对照比较，从而找出可能合理的图象的代号.

解 (1)若二分队在营地不休息，则a=0，速度为4千米／时，行至塌方处需104=2．5(小时)，因为一分队到塌方处并打通道路需要105+1=3(小时)，故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2．5+0．5+204=8(小时)；

(2)一分队赶到A镇共需305+1=7(小时).

(Ⅰ)若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a=5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去：

(Ⅱ)若二分队在塌方处不停留，则(4+a)(7-a)=30，即a2-3a+2=0，解得a1=1，a2=2，经检验a1=1，a2=2均符合题意。

答：二分队应在营地休息1小时或2小时。

(3)合理的图象为(b)、(d).

图象(b)表明二分队在营地休息时间过长(2

图象(d)表明二分队在营地休息时间恰当(1

2 亮点赏析

2.1 背景新

ケ咎馊〔男掠保贴切实际. 2008年我国重大灾害频繁发生，“抢险救灾”是大家都关注的一个话题. 该题以合乎情理而学生又非常熟悉的材料为背景，将数学中方程和函数等知识巧妙置于其中，既凸现了数学的实用性和教育性功能，又具备让学生乐于接受，甚至欣赏并跃跃欲试的情感目标.

2.2 题意明

ケ咎庖桓拇统中考压轴题语言冗长、涉及知识面过广、综合性过强的面孔. 表述言简意赅，自然质朴，可读性较好，没有使人望而生畏的感觉. 本题以能力立意作为描摹主题的主色调，突出对学生阅读理解、分析问题、条件转换、图象的理解和信息捕捉等能力的考查：突出了对学生方程思想、分类思想、数形结合思想的考查.

2.3 设计巧

ケ咎馍杓频男谐涛侍庥胍话阈谐涛侍獠灰谎，突破了传统行程问题应用题的模式. 例如设计“离营地10千米处发生塌方，须由一分队用1小时打通道路”的条件，为解决问题设置了一个障碍，也是本题设计的一个亮点。使学生难以用陈题去“对号入座”，能真实、充分地考查出学生分析问题、解决问题的能力和应用意识; 所设计的图象与常见的函数图象也有不同之处：一般此类图象均是以出发地作为坐标原点，而本题设计的出发地的坐标是(0，30)，目的地A镇的坐标在x轴上。这对学生理解图象、捕捉信息的能力提出了更高的要求；在提供的四个选支项中，可能合理的选支不是唯一一个，这又与一般的图象信息选择题有别；要求说明合理图象的实际意义，更能科学真实考察到学生对图象是否理解，是否具有用数形结合的思想方法解决问题的能力. 图象及相关问题的设计是本题设计的“神来之笔”，让入耳目一新.

3 反馈与启示

笔者对一部分考生解答此题的情况进行了调查了解。约三分之一的考生认为：这是一道活而不难、新颖有趣的好题，富有挑战性，解答时没有遇到大的障碍。总体情况是：第(1)小题，多数考生得了全分；而解答第(2)小题时暴露出的问题较多，主要是不知怎样建模，表述不全不准确是通病，此小题得分率不高；多数考生在解答第(3)小题时遇

到了困难，因函数图象呈现的方式和设计的问题不是常见的，因而未能读懂函数图象，特别是不知对图象①和图象②进行比较对照，因而判断失误。该小题得分率较低. 不少考生反映：读过这道压轴题的第一感觉是“似曾相识”，但深入下去又觉得“素未谋面”，无从着手，平常“苦练”了那么多的习题，竟找不到一个已做过的题来模仿，感到“功夫负了苦心人”.

学生暴露出的问题也击中了教学的软肋：一旦熟悉了的表述方式或题目条件发生了改变，学生便会找不着实在的突破口. 这启示我们：教师讲课的重点应该是知识的发生、发展过程，要着力改变“以知识传授为主要目标，忽视能力培养”的教学模式。在应用题的教学和复习过程中，应注重将课本中典型的例题、习题进行拓展和延伸，挖掘其蕴含的潜力. 对例题、习题应通过变条件、变结论、变图形、变表达方式等，培养学生的逆向思维能力和发散思维能力. 要通过展示各种题型所表现出的不同思考策略和解题方法，来开拓学生视野，培养学生多角度、多层次、多途径处理问题的能力. 通过对贴近实际、新颖有趣、活而不难、蕴涵丰富数学知识的问题的解决，引导学生用数学的眼光去观察思考问题，并且感悟解题思想的形成过程，领略数学思想方法的魅力，从而真正提高分析问题和解决问题的能力.

プ髡呒蚪椋和踉凯，中学高级教师，安徽省安庆市“骨干教师”，安庆市首届中学数学“学科带头人”，安庆市首届名师团成员. 长期在教学第一线耕耘，主持过省、市初中数学课题的研究并获奖，有数篇论文在国家级、省级刊物上发表.