勾股定理学习指要

南秀全

1. 勾股定理可用于求直角三角形的某一边长.

2. 应学会构造（或寻找）直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.如抓住立体图形与平面图形的关系，将立体图形展开成平面图形，进而构造直角三角形，运用勾股定理解决问题.

3． 构造三角形（或寻找三角形），运用勾股定理的逆定理判断某角是否为直角.

例1如图1，某机器零件呈四边形ABCD的形状，要求∠B = ∠D = 90°，AB = BC = 5，CD = 1.现测得∠B = 90°，AB = BC = 5，CD = 1，DA = 7.那么，这个零件合格吗？

分析： 连接AC，由勾股定理可求得AC2，再看CD2 + DA2是否与AC2相等.若相等，则∠D = 90°，零件合格；若不相等，则∠D ≠ 90°，零件不合格.

解：略.

说明：当题目中已知条件比较分散时，应通过构造或寻找全等三角形、等腰三角形、直角三角形等，将分散的条件集中，以利于解决问题.

例2如图2 ，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B.已知DA = 15 km，CB = 10 km.现要在铁路上A、B之间建一个土特产品收购站E，使C、D两村到E的距离相等.那么，E应建在何处？请给出你的设计方案和理由.

分析： E应建在何处，可由E到A的距离及E在A、B之间来确定.由于要求DE = CE，故可通过设未知数，由等量关系建立方程来解决.

解：设E建成后，AE = x km，则BE = （25 - x） km.

由勾股定理可得DE2 = AD2 + AE2 = 152 + x2，CE2 = BC2 + BE2 = 102 +（25 - x）2.

∴152 + x2 = 102 + （25 - x）2.解得x =10.

从而，E应建在A、B之间距A站10 km处.

说明：如果使E到C、D两村的距离之和最小，该如何确定这个最小值呢？请思考一下这个相关的问题.

例3如图3 ，一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好建到A点正上方的B点处.请你算一算梯子最短需多长.（已知油罐的底面周长是12 m，高AB是5 m）

分析：如图4 ，将油罐表面沿AB展开，展开后成长方形AA′B′B.在长方形AA′B′B中，AA′的长即是油罐的底面周长，A′B′的长即是油罐的高，故AA′=12 m，A′B′= 5 m.由于高与底面垂直，故∠A′= 90°，由勾股定理可求出AB′的长，即得所建梯子的最短长度.

解：略.

说明：解这类求最短长度或最短距离题的关键，是把立体图形的侧面展开（经常会遇到是正方体或长方体的情况）.同学们可考虑一个类似的问题，即当B点在上底面的直径另一端点处时（如图5），梯子最短需多长.

例4将两块三角板ABC和DBE按图6所示放置，其中∠C =∠EDB = 90°， ∠A = 45°，∠E = 30°，AB = DE = 6．求重叠部分四边形DBCF的面积．

解：在Rt△DBE中，∠EDB = 90°，∠E = 30°，DE = 6.

设DB = x，则BE = 2x，由勾股定理，得（2x）2 =x2 + 62，解得x = 2 .故AD = AB - DB = 6 - 2 ．

又∠A = 45°，故∠AFD = 45°，得FD = AD．

∴S△ADF =AD2 = × （6 - 2 ）2=24 - 12 ．

在等腰Rt△ABC中，AB = 6，故S △ABC =· AB·AB = 9．

∴S四边形DBCF = S△ABC - S△ADF = 9 - （24 - 12 ） = 12- 15.

说明：在直角三角形中，如果知道一个角是特殊角（如45°，60°，30°），且知道一边的长，则由勾股定理一定可以求得另两边的长，也能求出斜边上的高h利用 ab =hc，a、b为直角边长，c为斜边长.

例5已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2 + b2 + c2 + 338 = 10a + 24b + 26c，则△ABC是直角三角形吗？如果是，指出它的哪一个角是直角；如果不是，说明理由.

分析： 由于二次项都只含有一个字母，故考虑配方变形，有（a2 - 10a + 25） + （b2 - 24b + 144） + （c2 - 26c + 169） = 0.然后利用非负数的性质得出a、b、c的值，再由勾股定理的逆定理判断△ABC的形状.

解：略.

说明：若一个等式中含有多个字母，且最高次数为二次，一般考虑配方，化成一边是整式，一边是0，转化成几个非负数的和等于0的形式，再由非负数的性质求出各字母的值.在直角三角形中，最大边（即斜边）所对的角是直角.

例6为了美化环境，某小区用30 m2的草皮铺设一块一边长为10 m的等腰三角形绿地.请你求出这块等腰三角形绿地另两边的长．

解：分三种情况计算．不妨设三角形绿地为△ABC，AB = 10 m.过点C作CD⊥AB，垂足为D．则S△ABC =AB·CD = 30（m2），解得CD = 6 m．

（1）当AB为底边时，AD = BD = 5 m，如图7.

AC = BC = =（m）．

（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时（如图8），AC = AB = 10 m．

AD = = 8（m），BD = 10 - 8 = 2（m）．

BC = = 2 （m）.

（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时（如图9）．

BC = AB = 10 m，BD = = 8（m）．

AC = = 6 （m）.

说明：解答本题要注意分类讨论思想的应用，避免出现漏解.对于没有具体给出图形的题目，一定要考虑各种可能的情况（是锐角三角形还是钝角三角形？高在形外还是形内？等等）.有时，并不仅有两种情况.L

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文