“孔多塞悖论”的解决方法

【摘 要】 社会选择理论的起源可以追溯到法国数学家、哲学家、社会学家，孔多塞（Condorcet）提出的“Condorcet 悖论”（“孔多塞悖论”）。如何解决“孔多塞悖论”是很多经济学家、数学家研究的重要问题。本文将“孔多塞悖论”分为两种情形，系统分析“孔多塞悖论”，指出解决“孔多塞悖论”的主要方法，并研究各种方法的特点。

【关键词】 孔多塞悖论；社会选择；选择规则；偏好オ

一、社会选择与孔多塞悖论

社会选择是将社会各成员的偏好集结成社会的或群的偏好。社会选择中需进行价值判断、比较的对象，叫做备选方案，个体是社会选择中进行价值判断、比较，行使选择权利的主体。在现实中，采用过传统、独裁、投票选择、市场机制等社会选择方式。其中“传统”这种社会选择方法有多种不同形式，例如风俗、习惯、宗教、迷信等。“独裁”是指由个人或小集团对其他个体进行控制，体现某个人或小集团的意志，例如封建社会的君主即通过独裁统治国家。现代理性、民主的社会一般采取民主政治与市场经济相结合的社会选择方式。

市场机制、投票选举是典型的社会选择。在市场经济中，个体在市场经济中的选择通过货币来完成，使得资源配置往高效率的方向运行。现代民主制度中，个体体现选择权利的方式是投票。政治权利配置的特点一般是一人一票，特殊情况下是一人多票。即个体根据其偏好通过选票影响公共决策。此外，社会选择还涵盖实际生活中通过各种选择规则进行的各种决策方式。

社会选择由来已久，人们通过各种形式进行选择与被选择，但社会选择理论得到经济学界的重视还是在1951年阿罗（Arrow）提出“Arrow不可能定理”之后。社会选择理论的起源可以追溯到18 世纪，法国数学家、哲学家、社会学家，孔多塞（Condorcet）提出社会选择理论中著名的“Condorcet 悖论”（“孔多塞悖论”）：即当备选方案数量大于2，个体数量大于2时，按照相对大多数原则进行选择，会出现循环（当个体数量为4，备选方案数量为3时不会出现循环），无胜者，（如例1、例2）。相对大多数原则是比较两个备选方案a和b，如果偏好为a优于b的个体数量多于偏好为b优于a的个体数量则称社会或群的偏好为a优于b；若二者数量相等，则称社会或群的偏好为a与b无差异。根据相对大多数原则对备选方案进行两两比较，其中在两两比较中，能击败其他所有对手的备选方案叫做Condorcet胜者。

例1，“孔多塞悖论”第一种情形（将个体分为几组，每组个体数量相等）：假定有三组个体，每组均为1人，分别为甲、乙、丙，三个备选方案依次为A、B、C。甲的偏好顺序为：A ﹥ B ﹥ C；乙的偏好顺序为：B ﹥ C ﹥ A；丙的偏好顺序为：C ﹥ A ﹥ B。其中“﹥”表示优于。在此例中，根据相对大多数原则，最终群的偏好为A﹥B﹥C﹥A 出现了循环，无胜者。这意味着群偏好不总是可传递的（传递性：若a ﹥b，b ﹥c则a ﹥c）。

例2，“孔多塞悖论”第二种情形（将个体分为几组，每组个体数量不等）：将个体分成三组，每组个体数量分别为4人，3人，2人。三个备选方案依次分别为A、B、C。第一组：共4人的偏好顺序为：A ﹥ B ﹥ C；第二组：共3人的偏好顺序为：B ﹥ C ﹥ A；第三组：共2人的偏好顺序为：C ﹥ A ﹥ B。根据相对大多数原则，最终群的偏好为A ﹥B﹥C﹥A 出现了循环，无胜者。这两种情形相比，第一种情形出现的可能性更小些。

二、解决孔多塞悖论的方法分析

1、针对“孔多塞悖论”的第一种情形

第一种解决“孔多塞悖论”的方法是通过传统习惯解决，即当出现无胜者情况时，最终通过抽签决定胜者，让偶然性来决定。这样，无论胜者、败者都不得不接受结果，败者只能归因于自己的运气不好。

第二种解决“孔多塞悖论”的方法是按照修正案规则进行选择。修正案规则（amendment）是在进行选择之前，预先确定一套议程，即备选方案的投票顺序，如x1，x2，…，x璶。选择过程是：在第一轮表决中，对方案x1，x2进行选择，胜者进入下一轮与x3，进行表决；…；在第i（i>1）轮表决中，对第i-1轮表决中的胜者与x﹊+1进行选择，胜者进入第i+1轮表决；直到第n-1轮表决，此时的胜者为最后的选择结果。

第三种解决“孔多塞悖论”的方法是限制个体偏好的定义域。“孔多塞悖论”出现的前提条件之一是假定无限制定义域即个体任何偏好排序都是允许的。为了避免社会或群的偏好出现循环，其中比较著名的限制个体偏好定义域的方法是Black提出的单峰定理。单峰定理是如果个体偏好是单峰的，并且个体的数量是奇数，那么根据相对大多数原则进行选择满足可传递性。

单峰偏好的定义：设n个个体的偏好排序函数是U1（X），…，Un（X），Ui（X）（i=1，…，n）定义在可供选择的社会状态的集合S上，那么在二维平面上，若将S标在横轴上，将Ui（X）（i=1，…，n）标在纵轴上，则至少存在S的一种排列，使得Ui（X）的几何图形均有一个高峰。即在个人的偏好次序中，只有一项备选方案的偏好程度最高，其它方案的偏好程度依次递减。如果没有依次递减，偏好曲线先降后升，出现了两个顶峰，被称为“双峰偏好”。如例1，若备选方案议程为A，B，C，甲的偏好次序为A﹥B﹥C，乙的偏好次序为B﹥C﹥A，丙的偏好次序为C﹥A﹥B，曲线图上显示甲、乙的偏好为单峰的，丙的偏好则是双峰的。如果丙的偏好改为单峰的，即C﹥B﹥A，进行选择，“循环”被消除。

单峰定理表明，在单峰型的偏好结构中，根据相对大多数原则进行选择，不会出现“孔多塞悖论”，投票悖论出现的可能性比较小，因为在大多数情况下，个人的偏好结构会呈现出单峰形。如例3。

例3，假定A，B，C三个政党，Ａ代表极左派政党，Ｂ代表中间派政党，Ｃ代表极右派政党，一般地，C﹥A﹥B的个人偏好顺序出现的可能性很小，因为绝大多数人不会认为极右派政党比极左派政党好，又认为极左派政党比中间派政党好。

若备选方案的数量为3个时，单峰偏好可以解释为，若备选方案为a，b，c，任何个体偏好的排序中，某个方案不会出现在最后一位，如例3，方案B不会出现在最后一位。

比单峰偏好更一般的限制定义域的约束条件是Sen和Pattanaik提出的位次限制条件。位次限制指在备选方案中，任何三个方案中存在某个方案x璱和某个次序j，任何个体对这三个方案的偏好排序时，x璱不会被排在j位。例如备选方案的数量为3个时，位次限制条件可以解释为，如果备选方案为a，b，c，那么任何个体偏好的排序中，某个方案不会出现在第一位，或第二位，或最后一位。位次限制定理即为当个体偏好排序满足位次限制条件时，社会或群的偏好满足可传递性。

（二）针对“孔多塞悖论”的第二种情形

首先，是由孔多塞提出的孔多塞连续逆转方法。即寻找获得半数以上票数最少的备选方案，而后将其和对手的结果颠倒，如果循环消除则选择出结果，如果循环仍然存在，则需继续寻找获得半数以上票数最少的备选方案，将其和对手的结果颠倒，直到循环消除为止。如例2，获得半数以上票数最少的备选方案是C。根据孔多塞连续逆转方法，将其和对手A的结果颠倒，即将C ﹥A，颠倒为A ﹥C，则最终选择结果为A ﹥B﹥C，循环消除。其次，根据分数定义的规则可以解决“孔多塞悖论”的第二种情形。如简单多数原则、逆简单多数原则，Borda原则，其中Borda原则更为科学。再次，多轮淘汰选择的规则可以解决“孔多塞悖论”。如简单多数加赛原则、Hare原则、Coombs 原则、Nanson原则。最后，Dodgson 原则可以解决“孔多塞悖论”。

三、结论

解决“孔多塞悖论”的方法除了第一种方法和第二种方法外，都对前提条件进行了修改。第一种方法，抽签决定，虽然可以很好地解决这一矛盾，但不够科学。第二种方法，根据修正案规则，预先确定的议程很重要，影响最终选择结果，后出现的备选方案占有优势。因此，运用这一规则在研究确定议程时需要较长时间。当存在“孔多塞悖论”，可以通过对议程的安排，让任何一个备选方案当选。如例1和例2，若想操纵A胜出，就安排B和C先表决，B胜出后，与A比，A将其打败，最后获胜。第三种方法，限制个体偏好的定义域解决了“孔多塞悖论”，但却违背了个体任何偏好都是可能的前提。针对“孔多塞悖论”的第二种情形，解决“孔多塞悖论”的方法的共同之处在于都违背了相对大多数原则。

【参考文献】

［1］ 罗云峰 肖人彬.社会选择的理论与进展［M］.北京：科学出版社，2003.

［2］ 岳超源.决策理论与方法［M］北京：科学出版社，2003.

［3］ 张恒龙、陈宪.社会选择理论研究综述［J］.浙江大学学报，2006，（2）.

［4］ 张曙光.现代经济学的最新发展［J］.经济学动态，1999，8：54-60.

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肖江波，（1977-）女，汉，辽宁鞍山人，法国Caen大学经济学硕士，现为甘肃政法学院讲师，研究方向为社会选择理论、劳动经济学．