从整式加减看整体思想

田道元

整体思想是指从问题的“整体”出发，把一组数或一个代数式看成一个整体，然后去解决问题的一种思路．运用这种思想往往可以解决一些用常规方法不易解答的问题．下面以整式加减运算中的求值问题为例，举例说明整体思想的运用．

1. 整体化简求值

例1已知x=y+3，求代数式（x-y）2+（x-y）3+（x-y）2+（x-y）3+2的值.

根据式子的特点，将式子中的x-y看成一个整体，可使运算简便．

解：原式=［（x-y）2+（x-y）2］+［（x-y）3+（x-y）3 ］+2

=（x-y）2+（x-y）3+2.

由x=y+3可知x-y=3，故原式=32+33+2=38．

2. 整体代入求值

例2若a2+a=0，则2a2+2a+2 008的值为．

现阶段我们无法直接求出字母a的值，但可逆用乘法分配律将要求值的代数式变形为2（a2+a）+ 2 008，然后再整体代入求值．

解： 原式=2（a2+a）+2 008=2 × 0+2 008=2 008．

3. 整体加减求值

例3已知a-b=3，b-c=4，求（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2的值．

我们无法直接求出字母a、b、c的值，a-b，b-c的值题中均已给出，关键是要求出a-c的值.再观察所给条件，（a-b）+（b-c）=a-b+b-c=a-c，正好可以得到a-c的值.

解：将a-b=3，b-c=4中等号两边的式子分别相加，得a-b+b-c=3+4，即a-c=7.

故（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=32+42+72=74．

4. 整体拆分求值

例4已知2x+xy=10，3y+2xy=6，则4x+8xy+9y=．

要想用 2x+xy =10和3y+2xy=6两个条件解题，需要将4x+8xy+9y拆分成含有这两个“整体”的代数式.要注意，我们应按“整体”的倍数拆分待求值的代数式．

解：4x+8xy+9y

=（4x+2xy）+（ 6xy+9y）

=2（2x+xy）+3（ 2xy+3y）

=2 × 10+3 × 6

=38．

5. 整体转换求值

例5已知多项式ax5+bx3+cx-1，当x=2时，它的值为5．当x=-2时，求这个多项式的值.

当x=-2时，原式= -25a-23b-2c-1=-（25a+23b+2c）-1，故只要根据已知条件求出25a+23b+2c的值即可．

解：当x=2时，原式=25a+23b+2c-1=5，可得25a+23b+2c=6.

当x=-2时，原式=-25a-23b-2c-1=-（25a+23b+2c）-1=-7．

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