等腰三角形的证法

李　艳

三角形的知识是初中数学的重点，而等腰三角形的知识更是重中之重.判定一个三角形是等腰三角形，有两种基本方法：一是证明两角相等，二是证明两边相等.

一、根据等角对等边来解决问题

例1如图1，AO平分∠BAC，∠1=∠2，试说明△ABC是等腰三角形.

思路分析：如图2，由题设可知，∠1=∠2，∠3=∠4.仅有角相等，无论是证AB=AC还是证∠ABC=∠ACB都不够，因此想到作辅助线.由于AO为∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，过点O向角的两边作垂线OE、OF，这样得到一对直角和一组边相等：OE=OF.

因为∠1=∠2，所以OB=OC.

所以Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）.

所以∠5=∠6.

所以∠1+∠5=∠2+∠6，即 ∠ABC=∠ACB.

所以AB=AC.△ABC为等腰三角形.

点拨：题中有角平分线时，常自角平分线上一点作角两边的垂线.

二、两边相等

证两边相等，可以考虑下面四种方法.

1. 通过三角形全等证线段相等

例2如图3所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上的一点，连接BE、CE.试说明△EBC为等腰三角形.

思路分析：根据已知条件AB=AC，AD⊥BC，易知BD=CD.由于AD⊥BC，DE为公共边，可得△BDE≌△CDE（SAS）.所以BE=CE.△EBC为等腰三角形.

2. 利用线段垂直平分线的性质证线段相等

如上面的例2，可以发现AE是线段BC的垂直平分线，由于线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以BE=CE.这样就省略去了证△BDE≌△CDE的步骤.

3. 利用线段的和与差证线段相等

例3如图4所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CF，AD⊥BC于D.试问：线段AE与AF相等吗？

思路分析：由于AB=AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性质，易知有BD=CD.结合BE=CF知ED=FD，故AD是线段EF的垂直平分线，于是AE=AF.

4. 利用面积法证线段相等

例4在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.试说明PE=PF.

思路分析：连接AP，如图5，根据题意知AP⊥BC，BP=CP.所以△ABP和△ACP的面积相等.而△ABP和△ACP的面积还可以分别通过把AB、AC当作底，PE、PF当作高来表示，即1/2AB·PE=1/2AC·PF.而AB=AC，易得PE=PF.

点拨：要证两线段相等，常用三角形全等来证.如果已知条件中有等腰三角形存在，那么等腰三角形三线合一的性质经常会用到.审题时一定要注意中点、垂直等条件.有时候已知条件不够，要适当添加辅助线，常作的辅助线是高（垂线）、平行线等.