分解因式有“口诀”

李其明

分解因式时，可根据多项式的形式和特点，采用不同的方法，有时几种方法需要联合使用或循环使用．为了能灵活使用分解因式的方法，请同学们记住如下“口诀”：首先提取公因式，然后考虑用公式；十字相乘试一试，分组分解要合适；四种方法反复试，结果必是连乘式．

一、 首先提取公因式

提取公因式是乘法分配律的逆变形．

例1分解因式：

（1）x2y（x－y）－xy2（y－x）；（2）3a2nb2m－6anb2m＋1．

解：（1）原式＝x2y（x－y）＋xy2（x－y）＝xy（x－y）（x＋y）．

（2）原式＝3anb2m（an－2b）．

点评：原式各项提取公因式后，剩余的项容易写错．它等于原有各项除以提出的公因式后所得商式．

二、 然后考虑用公式

分解因式的公式，有时可以直接应用，有时则要根据多项式的特点，把各项变形、整理后再应用．公式里的字母可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式，因此，应用公式法的关键是掌握公式特点．

例2分解因式：a6－b6．

解：原式＝（64a6－b6）

＝（8a3＋b3）（8a3－b3）

＝（2a＋b）（4a2－2ab＋b2）（2a－b）（4a2＋2ab＋b2）．

点评：注意要分解到不可分解为止．若有分数系数，最好先提出分数，使多项式系数都变为整数．

三、 十字相乘试一试

十字相乘法，一般适用于二次三项式的分解因式．有些较复杂的多项式，经过整理化为二次三项式的形式，也可以运用此法．

例3分解因式：

（1）6a2－ab－2b2；

（2）2（a－b）2－（a－b）－6．

解：（1）[2 b

3 －2b]

原式＝（2a＋b）（3a－2b）．

（2）[1 －2

2 3]

原式＝［（a－b）－2］［2（a－b）＋3］

＝（a－b－2）（2a－2b＋3）．

点评：（1）题中要将其中一个字母（如b）看成系数，再用十字相乘法．（2）题中要把a－b看成一个字母．

四、 分组分解要合适

分组分解法必须配合以上各法，才能有效．在多项式项数多，无法用公式法时，可考虑先分组．但分组不是盲目进行的，要通过分组能提取公因式或利用公式法等．

例4 分解因式：

（1）a2－b2＋2bc－c2；

（2）x3－3x2－4x＋12．

解：（1）原式＝a2－（b2－2bc＋c2）＝a2－（b－c）2＝（a＋b－c）（a－b＋c）．

（2）原式＝（x3－3x2）－（4x－12）＝x2（x－3）－4（x－3）＝（x－3）（x2－4）

＝（x－3）（x＋2）（x－2）．

点评：分组分解，若是分组不当，分解将无法进行．如（1）题有的同学这样分组（a2－b2）＋（2bc－c2）＝（a＋b）（a－b）＋c（2b－c），分解就无法进行了．

五、 四种方法反复试，结果必是连乘式

有时分解因式需要四种方法反复运用，才能分解到底．

例5 分解因式：－2x（x2－y2＋z2）2＋8x3z2．

解：首先提取公因式，然后考虑用公式，最后考虑分组分解法．

原式＝－2x［（x2－y2＋z2）2－4x2z2］＝－2x（x2－y2＋z2＋2xz）（x2－y2＋z2－2xz）

＝－2x［（x＋z）2－y2］［（x－z）2－y2］＝－2x（x＋y＋z）（x－y＋z）（x－z＋y）（x－z－y）．

点评：分解因式的最终结果必须是几个因式乘积的形式．

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文