点击不等式的基本性质

喻俊鹏

不等式是初中数学的重要内容之一．而不等式的基本性质则是不等式的灵魂．因此，在学习这部分内容时，要着重注意以下几个方面．

一、正确理解基本性质的含义

1． 不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．这里的整式包含单独的一个数、字母以及由字母和数组成的单项式或多项式．例如：若a＞b，那么有a＋5＞b＋5，a－c＞b－c，a＋m＞b＋m，a－＞b－等．

2． 不等式的基本性质2：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．例如：若a＞b，且c＞0，那么有ac＞bc或

＞

．

3． 不等式的基本性质3：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．对此性质中加黑点的词的含义要认真领会，重点理解．例如：若a＞b，且c＜0，那么有ac＜bc或

＜

．

4． 由于0既不是正数也不是负数，因此，在运用性质2和性质3时，不等式两边所乘以（或除以）的同一个数（或式子）不能为0．否则，不等式的性质不成立．

二、灵活运用基本性质解题

1． 直接运用

例1 利用不等式的性质，用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则a－2 007b－2 007．

（2） 已知x＞y，且k≠0，那么k2x k2y．

（3） 已知m＞n，那么－m－n．

解析：（1）因a＞b，运用基本性质1，两边同减去2 007，得a－2 007＞b－2 007．所以应该填“＞”．

（2）因k≠0，故k2＞0．又x＞y，运用基本性质2，两边同乘以k2，得k2x＞k2y．所以应该填“＞”．

（3）因m＞n，运用基本性质3，两边同乘以－，得－m ＜ －n．所以应该填“＜”．

例2已知a＜0＜b，则下列式子中错误的是（）．

A． a＋c＜b＋cB． ac＜bcC． ＜D． －99a＞－99b

解析：因为a＜0＜b，由基本性质1，得a＋c＜b＋c．由基本性质3，得－99a＞－99b．所以A、D都正确．

又c2≥0，所以c2＋1＞0．由基本性质2，得＜ ．故C也正确．

由于c为任意实数，因此，当c＝0时，ac＜bc不成立．所以B是错误的.应选B．

2． 逆向应用

例3 已知关于x的不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1的形式，求k的取值范围．

解析：由题设条件，原不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1，知此时不等号的方向改变了．根据基本性质3，说明不等式的两边同除以的k－2 008必为负数．故k－2 008＜0，所以k＜2 008．

点评：在运用不等式的性质时，一定要记住“一变两不变”：性质1和性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变．

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[想一想，练一练]

1． 用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则9a＋19b＋1．

（2） 若a＜b，且c＞0，则ac＋cbc＋c．

（3） 已知a＞0，b＜0，c＜0，那么（a－b）c 0．

2． 如果a＜b，那么下列不等式中，正确的个数是（）．

①－8＋a＜－8＋b；

②－7a－9＜－7b－9；

③－a＋2 008＜－b＋2 008；

④2 007－a＞2 007－b．

A． 1个B． 2个 C． 3个D． 4个

3． 若关于y的不等式（m＋7）y＜2（m＋7）可以化为y＞2的形式，求m的取值范围．

参考答案

1．（1） ＞ （2） ＜ （3） ＜2．B3． m＜－7．

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