巧用抛物线的对称性解题

朱香彩

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，是关于x=- 成轴对称的抛物线，它的对称轴是直线x=- ，利用它的对称性，常常能使求解变得简捷，优化解题过程.现举例说明.

1.利用图象的对称性求代数式的值

例1抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过P（3，0），则a+b+c的值为（）.

A.-1B.0C.1 D.2

解析：因为抛线线的对称轴是直线x=2，且它经过P（3，0），又抛物线是轴对称图形，所以抛物线和x轴的另一个交点为（1，0）．当x=1时，y=a+b+c，即a+b+c=0.答案为B.

2.利用图象的对称性求对称轴方程

例2已知抛物线经过A（2，5）和B（4，5），则该抛物线的对称轴是什么？

解析：因为抛物线经过A（2，5），B（4，5）两点，由抛物线的对称性可知，当两点的纵坐标相同时，这两个点是对称点，所以A和B是对称点，对称轴方程为x= =3，即对称轴方程为x=3.

3.利用图象的对称性求确定函数的表达式

例3已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，4），与x轴两交点间的距离为6，求此抛物线的表达式.

解析：因为顶点坐标为（-1，4），所以对称轴为x=-1.

又因为抛物线与x轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为x =-1-3,x2=-1+3.则两交点的坐标为（-4,0）,（2,0）.

设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4.

再把（2，0）代入得a=- .

所以抛物线的表达式为y=- （x+1）2+4.

4.利用图象的对称性比较函数值的大小

例4已知二次函数y=x2-4x+1.

若x2-2>2-x1>0,试比较y1与y2的大小.

解析:因为抛物线的对称轴为x=2,且x2-2>0，2-x1>0,

所以x1在对称轴的左侧，x2在对称轴的右侧.

又因x 到对称轴的距离为｜x1-2｜=2-x1，

所以x2到对称轴的距离为｜x2-2｜=x2-2.

由题意知x2-2>2-x1>0,即x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离.

所以y2>y1.

5.利用图象的对称性确定点的坐标

例5已知抛物线经过A（-2，5）和B（4，5）、C（3，-2），则该抛物线上纵坐标为-2的另一个点的坐标为.

解析：仔细分析可注意到：A、B两点纵坐标相同，且关于抛物线的对称轴对称，由A（-2，5）和B（4，5）可得对称轴x= =1，而抛物线上纵坐标为-2的一点是（3，-2），所以关于x=1的对称点是（-1，-2）.故抛物线上纵坐标为-2的另一点坐标为（-1，-2）.

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