运用费马小定理求解数的整除性问题

刘宝成　刘卫利

1 科学研究的思路

在世界上，以数学为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题的比赛；我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；16世纪在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，法国的费尔马就是其中的佼佼者，他所提出的费尔马大定理向人类的智慧挑战了300年；18世纪，法国曾经进行过独立的数学比赛；19世纪，法国科学院以悬赏的方法征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现. 数学王子高斯就是比赛的优胜者，……但是，所有这些比赛，都只有局部的性质并且限于在成人之间进行，而专门以中学生为对象的数学竞赛却是现代的时尚.

国际奥林匹克数学竞赛命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一. 数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动. 通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质. 数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式. 数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情.

数学是科学发展中的重要工具，历史证明它给人们处理问题的巧妙方法并启迪人们思维. 猜想是创造思维的先导，猜想之余就是周密细致、艰苦的论证，符合逻辑推理、符合自然规律、符合实际情况的猜想皆形成理论. 哥德巴赫猜想引起许多象陈景润这样的大师论证；我们大家的老师欧拉在数学领域中是富翁，他也是先提出很多猜想，进一步论证；我国数学家微分几何之父陈省身的弟子丘成桐现在美国哈佛大学是微分几何阵地的领先者，他先后证明了有名的几个猜想，并且自己提出了一百多个猜想且一一进行了论证，大胆猜想才会有创造.^[1]

2 费马小定理

3 国际奥林匹克数学竞赛题

4 国际奥林匹克数学竞赛题的命题规律及解题方法

国际奥林匹克数学竞赛题按代数、数论、几何、组合数学、组合几何等分类，确定试题难度（A、B、C三级），选择30题左右，其中初等数论常在一套题中占16. 而在初等数论中，数的整除性、同余式占有十分重要的地位. 应用费马小定理、牛顿二项式定理，采用巧妙、灵活的分组方法证明被除数中含有除数的全部质因子. 对数的整除性还可以应用反证法、数学归纳法、等价关系等方法求解. 应用这些解题方法的具体解题过程祥见我们即将出版的《历届国际奥林匹克数学竞赛题题解》.^[9]

参考文献

[1] （美）M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1981:3-56.

[2] 《数学手册》编写组. 数学手册[M].北京：人民教育出版社，1979-5:12-87.

[3] 潘承洞，潘承彪. 初等数论[M].北京：北京大学出版社，2005-7:36-88.

[4] Gauss,C.F. :Disquisitiones Arithmeticae, trans.A.A. Clarke,yale University press,1965:26-45.

[5] (美)G.H.Hardy;E.MWright An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press 2007-3:42-78.

[6] 华罗庚著. 数论导引[M].北京：科学出版社，1957-07:10-125.

[7] 张贤科.代数数论导引(第2版)[M].北京：高等教育出版社2006:20-56.

[8] （美）JosephH.Silver man Friendly Introduction to Number Theory,(3rdEdition)Prentice Hall/ Pearson 2006:35-89.

[9] Kenneth Ireland, Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd ed Springer-Verlag 2003-6:15-50

作者简介 刘宝成，1963年生，男，陕西省凤翔县人，机械工程硕士在读，副教授，陕西航空职业技术学院机械系材料成型教研室主任，从事模具设计与制造专业教学和研究.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”