数学的挑战

雷永生

我的老同学李浙生教授多年专攻数学哲学，在一九九二至一九九五年间连续出版了《数学科学与认识论》和《数学科学与辩证法》两本专著。这是两本非常有价值的书，可惜的是，前者系自费出版，印数极少；后者虽得到资助，但少得可怜，印数也极有限（作者出版这两本书，不但没有得到一分钱的稿酬，反而贴了不少钱），因而看到的人不多。不过，凡是看过这些书的人，不论是否同意作者的观点，都认为其价值在于求实与创新，特别是提出了许多非常重要的问题，这些问题对于激活人们的思维，无异于一副清凉剂和兴奋剂。

这两本书用极为丰富的数学发展史的资料论证数学与流行的辩证法（由黑格尔为其奠定基础）和认识论的关系，着力于说明现行的辩证法和认识论所讲的规律不能包容数学发展的事实，数学的发展及人对数学的认识有其自己的特殊规律。

让我们从书中随便找几个例子来看看吧：

十九世纪，英国数学家布尔创立了只问命题之真假（真命题取1值，假命题取0值）的二值逻辑。这看来是与辩证法所讲的一分为二相符合的。但是，后来二十世纪的逻辑学家创立了三值逻辑（命题除了取1和0两个值外，还可取1/2值）；二十世纪六十年代，数学家又创立了模糊数学和模糊逻辑，它们把命题可分成好多类。这样，它们与辩证法就不一致了。如果说传统的数学和逻辑是一分为二的，那么，模糊数学和模糊逻辑就是一分为多的。这种发展表明人类的认识更深入更细致更全面因而也更真实地体现了事物的本来面目。此其一。

概率论这一重要数学分支不是起源于生产斗争、阶级斗争和科学实验的实践，而是起源于赌博，或者说是起源于对赌博的研究。莱布尼兹曾鼓励数学家研究赌博问题，他说：“我希望有一位高明的数学家能写一部大部头著作来对各种各样的赌博游戏作详细的、很好的推理论证，这对于使发现的技术完善化是有很大用处的，人类心灵在赌博方面比在那些最严肃的事情上似乎显得更精明。”莱布尼兹并不嗜赌，但他用数学眼光敏锐地看到赌博（以及所有的游戏）对于认识的意义，这是非常高明的。本书作者认为，“这一事实表明，游戏、娱乐活动也是认识的来源，也可形成理论”。我们反对赌博，但这并不妨碍我们对包括赌博在内的游戏活动进行深入的研究。在这里，我想到瑞士心理学家皮亚杰以“活动”概念来表述人的认识来源，看来是更为全面的一种概括。此其二。

数学是最形式化、符号化的科学，因而形式与内容的问题在这里表现得非常奇特：形式常常脱离内容而存在，而且数学越发展，它的形式就离内容越远。这种现象的根源在于数学与经验的关系。虽然早期数学对经验有很强的依赖性，但它很快发展了自身的独立性，当它依靠符号和演绎原则形成了自己的体系时，对经验的依赖性就逐渐减少，独立性愈来愈强，进而发展到这样的程度：数学中许多问题的提出和解决，主要依靠逻辑的力量，以至完全变成形式化和符号化的科学。这种现象用传统的辩证法关于形式与内容的原理是无法解释的。此其三。

自从黑格尔提出历史的与逻辑的相统一的原则以来，人们已经习惯于将认识的历史与认识的逻辑看作是完全统一的。但是，这种观点在数学发展史上却是不适用的。在数学史上，认识的历史与认识的逻辑不一致的现象俯拾皆是。以微积分为例，它的认识逻辑顺序是：实数理论——极限理论——微积分运算；而它的历史发现的顺序却是：微积分运算——极限理论——实数理论，两者正好相反。其实，这种现象也并非只在数学中存在，这种现象说明了科学发展史的复杂性，也表明了人类认识的发展的丰富性，对这种现象，仅只用几个抽象的公式、规律是难以概括的。此其四。

函数概念、曲线概念和几何学的发展表明否定之否定规律没有普遍性。最初，数学家用曲线表示函数，而十八世纪的数学家把函数作为解析表达式；十九世纪的数学家则认为，函数是变量之间的关系。就函数概念的发展来说，如果把十八世纪以前的将函数作为曲线的观点作为正题，那么，十八世纪数学家将函数作为解析表达式的观点就是反题，就是十八世纪以前的函数观点的否定。而十九世纪数学家把函数看作变量之间的对应关系，则应是否定之否定。然而，在十九世纪的函数观点里，既没有前两种观点的融合，也没有向第一种观点的回归，因为这种观点既是对把函数作为解析表达式的否定，也是对把函数作为曲线的观点的否定。此其五。

举例至此为止，复述书的内容究竟不是本文的任务。在这里我要向读者坦述的是我读过这两本专著后的感想。

多少年来，在我们这里也曾不断地鼓噪过“反对教条主义”，但总给人以滑稽的感觉，因为常常是以新教条反对旧教条，所以结果总是旧教条被压下去，而新教条则大行其道（现在有人甚至把“实践是检验真理的唯一标准”也当作教条）。其源盖出于把某种理论、原理绝对化，将其封为放之四海而皆准的绝对真理。就像我们的哲学教科书所说的：这里所讲的辩证法和认识论的诸原理是关于整个世界，包括客观世界和主观世界的普遍规律。同时它还告诉我们：真理只有一个，除了这里所讲的以外，都是错误的、资产阶级的甚至封建主义的谬误。既然真理就在这里，我们就地膜拜吧，于是，这些原理也就成了教条。

其实，古今中外，从来没有这样的绝对真理。凡是具有科学精神的人都是非常小心地对待自己的发现和发明的，都努力寻找自己的理论的边界即适用范围，绝不愿夸大它的界限和意义，更不愿将它变成教条。只有那些具有科学野心甚至政治野心的人，才不知天高地厚地赋予自己的理论以绝对性。波普的“证伪”理论奠基于科学真理的相对性之上，认为不能证伪的理论就不是真理，而可以证伪的理论都是相对的。这就从根本上克服了教条主义，因为不论对任何理论都得去研究它的适用范围。现在，李浙生教授的专著实际上就是从数学方面证伪了流行的认识论和辩证法，这表面上看似贬低了它们，实际上则是将其放置在更合理的地位上，并且避免了陷入教条主义的危险，这岂不是好事？如果还有人怒气冲冲地不允许对他们的认识论和辩证法进行证伪的话，那我们只能悄悄地告诉他们：这样不好，这有使你们的理论变成非真理的危险。