〔美国历届数学竞赛题选〕（之一）答案

1.一个毕达哥拉斯定理的推广如下:三角形中对着最长的一边的角是锐角、直角、还是钝角，分别视该边的平方是小于、等于、还是大于其他两边的平方和而定。对已知三角形而言，列出一个表如下:

可见唯有Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ是直角三角形。答案:D

2.设直角三角形两股分别长为a2-b2和2ab，锐角α为对着2ab边的角。根据毕达哥拉斯定理，其斜边h之平方为h2=(2ab)2+(a2-b2)2=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2从图形和正弦的定义得知有sinx=2ab/(a2+b2)

3.设P和Q分别为AD同BF和EC的交点，以∠P表示∠FPQ，∠Q表示∠EQP。那么由于四边形EFPQ的角度的和是360°，而△DPB和△AQC的角度和各为180°，于是有三个方程式∠F+∠P+∠Q+∠E=360°∠B+(180°-∠P)+∠D=180°∠C+(180°-∠Q)+∠A=180°从这些方程式的和的两边各减去360°，所求的和数是∠A+∠B+∠C+∠D十∠E+∠F=360°=90n°所以n等于4，即选择项(C)。