模型建构：从隐性到显性的自然回归

陈晨 赵军 徐琳琳

［摘  要］ 数学模型是我们对知识的提炼与积淀，巧妙借助模型建构将问题进行转化，往往能起到柳暗花明的效果. 文章从教材习题出发，以“添加辅助圆求最值问题”的模型建构为例，着眼于提高学生分析和解决问题的能力，诠释“隐圆”建构的类型和技巧，通过建模探究，引领学生实现从隐性到显性的自然回归，有效提升其学科素养.

［关键词］ 最值；隐性；显性；辅助圆

……

教学说明  通过对课本习题的又一次拓展，师生共同得出结论：“有一组对角都是直角的四边形四个顶点共圆”，并在此基础上引导学生合理添加辅助圆求最值，辅助圆最小则其直径就最小，反之亦然. 求最值的过程，让学生体会从隐性走向显性的过程，这增强了学生的“添圆”技巧，提升了学生的建模能力.

5. 课堂小结

师：通过这节课的探究，大家有哪些感悟與收获呢？说出来与大家一起分享！

生20：求最值问题要注意隐圆的存在，我深深体会到“圆来”如此简单！（赢得掌声）

生21：解题过程中我们要密切关注圆从隐性到显性的过程，隐圆通常源于三种情形，即“定点定长有定圆”“定边定角有定圆”“对角双垂有定圆”.

生22：构建显性“圆”源于转化的需要，当我们解题遇到困难时要能主动建模！

……

师：建模（圆）相当于“无中生有”，是在已有条件基础上的重建，考验我们对圆的理解、回归与运用，只要添“圆”得当，必能拨云见天，柳暗花明！

教学反思

1. 隐性设计的目标指向将“模型”藏于无形

命题者在命制试题时一旦将圆隐去，答题者也就失去了直接运用圆的性质解决问题的显性思考，增加了解决问题的难度，所以，从命题者的角度出发，合理将圆隐去的设计能有效考查答题者对模型的回归处理能力，即化归思想和建模能力. “隐圆”的方法多种多样，无论是“定点+定长”“定边+定角”还是“对角+双垂”，各模型之间是相互关联的，其最终都能回归圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 存在隐圆的试题具有什么特点？学生在学习过程中怎样去领悟这些特点？这些都离不开教师的引导与点拨，教师可以从命题者的角度与学生敞开心扉，谈谈此类问题的设计目的、思路，让学生领悟试题“圆来”的模样和生成的过程，只有知己知彼，方能百战不殆！

2. 显性回归的实施路径将“模型”建于有形

从答题者的角度思考，模型建构的难点在于建，怎样将无形的模型建于有形？从哪里入手去建？关键时候要能结合题目联想到所需要的模型，没有一定的积累无法完成模型的建构. 建模既要充分考虑学生的学习情况，尤其是学生的“最近发展区”，也需要结合题目自身的条件进行分析. 当我们带领学生将隐圆问题的类型进行归类、应用，通过专题进行系统的探究后，对于隐圆问题学生当能从容应对. 那么，其他类型的建模问题呢？因此，我们可以在每章节学习结束后结合课本内容进行归纳、提炼，平时要善于总结，形成熟悉的基本模型，归纳出属于自己的“定理”，结合点的运动轨迹去捕获需要的模型并加以应用，培养建模的能力，发挥模型的价值.

3. 隐性设计与显现回归将“模型”置于其中

隐性设计实质上是建立在显性设计的基础之上，通过层层设防，将其“明显的解题思路”隐藏至“无痕”甚至难以发现，但解决问题时归根到底还是要回到显性设计下的最明显的、直观的解题思路上来. 所以，显性设计是命题的出发点，隐性设计是通过对显性设计的隐藏、变异催生的，是一种“潜伏”，也是一种转化［2］. 隐性设计与显现回归以命题者对“模型”的隐藏和答题者对“模型”的探寻进行“对弈”，命题者设计之初的“隐”就是为了答题者原路的“回”，答题者对模型的“建”也回应了命题者当初对模型的“藏”，两者和谐共生. 藏得太深，无人能建，藏得太浅，人人得见，如果只有“隐”“藏”，而没有“回”“建”，隐性设计也就失去了意义，所以，隐性设计要掌握好“度”，要符合课标的要求和学生的认知水平，让多数学生学有所获！“隐性问题”源于知识，藏在模型，成于推理. 在教学中，我们只有抓住问题本质，着眼于提高学生分析和解决问题的能力，才能有效建构数学模型，高效提升解题素养.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学版社，2022.

［2］ 赵军. 问题设计的显性与隐性比较例析［J］. 中学数学教学参考，2017（29）：2-5.