研读高考题 剖析数列新定义

研读高考数学试题，发现改革力度之大，突破以往试卷结构的常规模式，给人以耳目一新之感。尤其是新高考的数列解答压轴题以“新定义”情境试题的形式呈现，背景新颖，构思巧妙，有效地考查同学们的迁移能力和思维品质，充分地体现“遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的特点。下面结合2024年高考的数列解答题，剖析数列新定义，以期对同学们的学习有所帮助。

一、试题呈现

（2024年全国新高考Ⅰ卷第19题）设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m +2 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai 和aj （ilt;j）后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m +2 是（i，j）—可分数列。

（1）写出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使数列a1，a2，…，a6 是（i，j）—可分数列。

（2）当m ≥3 时，证明：数列a1，a2，…，a4m +2 是（2，13）—可分数列。

（3）从1，2，…，4m +2中一次任取两个数i 和j（ilt;j），记数列a1，a2，…，a4m +2 是（i，j）—可分数列的概率为Pm ，证明：Pm gt;1/8。

思路剖析：本题是在已有等差数列概念的基础上，重组或变化条件，生成（i，j）—可分数列的新概念，但解题依然根植于等差数列的基础概念、基本方法与基本思想。解题按新定义的“（i，j）—可分数列”的要求，“照章办事”即可。

（1）直接根据（i，j）—可分数列的定义写出所有的（i，j）即可。

（2）先证明当m =3时，可以分为a1，a4，a7，a10;a3，a6，a9，a12;a5，a8，a11，a14 三组公差为3d 的等差数列。再证明当m gt;3时，数列a1，a2，…，a4m +2 去掉a2 和a13 后，后面的每四个相邻的项分为一组，即a15，a16，a17，a18;…;a4m -1，a4m ，a4m +1，a4m +2，每一组都能构成等差数列，即可证明结论。

（3）设满足题意的（i，j）的取法数为bm ，则b1=3。当m =n+1时，可取a4n+6 与a1，a5，a9，…，a4n+5 中的一个，共（n+2）种;可取a4n+5 与a2，a6，a10，…，a4n-2 中的一个，共n种。故bn+1 -bn ≥n+2+n=2n+2，则当m ≥2时，bm =（bm -bm -1）+…+（b2-b1）+b1≥2m +…+4+3=m2+m +1。又b1=3满足上式，故bm ≥m2+m +1。结合随便删除2个数，总共有C2 4m +2=8m2+6m +1（种）方法，证明结论即可，过程略。

二、“新定义数列”的特点

创新性：新定义问题的背景新颖独特，题目中常出现“定义”“规定”“称为”等词汇，定义内容与教材中的知识内容存在一定差异，并且有时表述抽象，要求同学们先仔细读题并明其新意，再进行解题。

综合性：新定义问题背景创新，联络不同知识点和知识模块，综合运用各类数学思想方法，全面考查同学们分析问题与解决问题的能力。同学们要明晰新概念的构成要素，挖掘与已有知识的关联并将已有方法进行迁移，对新问题进行转化，提升数学核心素养。

速用性：新定义问题的解决要求同学们在规定时间内迅速学习并立即使用一个新的数学定义，这意味着同学们需要在没有老师指导下短时间内“现学现用”，对同学们的思维灵敏性要求很高。

三、破解“新定义数列”的方法

“新定义数列”虽然形式较新，但研究它们的基本方法和思考角度，往往是同学们较为熟悉的。同学们只要冷静观察和思考，深入理解新定义，采用合理的策略、熟悉的方法进行分析、转化，就能得到简捷清晰的解法。