利用非线性弹簧振子链作为声学超表面产生高次谐波

关键词：非线性超表面，多重尺度法，内部共振，谐波生成

中图分类号：O424 文献标志码：A

声学超表面是一类广泛用于控制弹性波的人工层状材料［1-9］，包括线性和非线性两种类型. 线性超表面擅长波前调节，具有异常衍射［1-2］、将传播波转换为消逝波［3-4］、负折射［5-6］和声全息投影［7-9］等功能. 为了推进声学超表面的研究，人们越来越重视研究非线性现象. 在声波中实现非线性是一项重大挑战，通常需要较大的压力幅值［10-11］或使用具有较高非线性参数的介质［12］，这在空气中通常很难实现. 该领域的一个显著进展是设计了一种单层结构，将亥姆霍兹谐振器与非线性电子电路集成在一起，从而实现非互易波传播的二次谐波的产生［13］. 制造这些超表面的一种常见方法就是利用结构的几何非线性［14-19］. 利用共振非线性弹性元件设计一种非线性声学超表面，可以在反射场中实现二次谐波的增益［14-15］.Lin et al［18］将可弯曲的梁结构作为超表面的非线性弹簧，也实现了相同的目标. 通过上述方法产生的非线性弹簧振子模型有效地调节了整个声场，产生了二次谐波. 此外，Liang et al［20］开发了一种具有双线性非线性的声学超材料，研究了其基波和二次谐波的传播行为. Justin et al［21］设计了一种三原子声学非线性超材料，这种材料表现出两个独立于空间周期性的局部共振带隙，这表明超材料对波前的调制受到了系统非线性的强烈影响. Runge et al［22］研究了非线性超材料中的声学模式与由相关两能级系统组成的量子计算平台之间的关系，结果表明声学超材料可用于实现大规模并行信息处理. Zhang et al［23］提出了一种可以实现宽带多频振动衰减的声学超材料. Po⁃rubov［24］通过在具有双原子对称性的超材料质量⁃质量⁃晶格模型中研究非线性应变孤立波，揭示了非线性波的分布情况.

声学超表面因其非线性而难被激发，在生成高次谐波方面具有局限性，基于此，本研究设计了一种可以产生高次谐波的非线性超表面，并研究了由两个非线性弹簧和三个质量块组成的三自由度系统. 本文的主要工作如下.

（1）理论方法：采用多重尺度法，该方法在非线性超材料中得到了广泛的应用［25］；通过严格的理论分析，获得振子的振幅解，包括基波和谐波部分；在此基础上，计算了三自由度系统在激励压强下的基波和二次谐波传输率.

（2）广义谐波分析：揭示了弹簧振子链在谐波生成方面的更为广泛的规律，不仅是二次谐波的产生，还包括高次谐波.

1 模型介绍与理论数值验证

1. 1超表面模型与理论分析 非线性弹簧振子链可用于实现二次谐波生成，其由非线性弹簧和质量块组成，每个组件都可以单独设计. 当多个弹簧振子链被组合到一起时，便形成了具有双重谐振频率的超表面. 图1 展示了透射型超表面及由两个非线性弹簧和三个质量块组成的三自由度单元系统. 本节阐明用于超表面的理论方法以及在辐射声场中生成较大谐波的原理. 该超表面由多个相同的单元系统构成，通过研究单元系统可以全面理解整个超表面的振动和波场特性.

为了阐明非线性振子链的物理机制，本文研究了由三个质量块和两个非线性弹簧组成的三自由度系统，简化的示意图如图1b所示. 用m₁，m₂，m₃ 表示三个振子的质量，用K₁ 和K₂表示两个非线性弹簧的线性刚度系数，用α₁ 和α₂ 表示两个弹簧的二次非线性系数. 两个弹簧的非线性恢复力可表示为：

1. 2数值模拟与验证 基于上述讨论，可以推断出非线性弹簧振子链的振动特性与模型的结构参数密切相关，这些参数共同决定了系统的谐振频率. 为了在透射波场中实现显著的谐波幅度，将较高谐振频率配置为较低谐振频率的n 倍，从而促进n 次谐波的生成. 本节重点关注n=2 的情况，深入探讨二次谐波的有效生成. 表1 展示了三自由度系统的选定结构参数.

对于三自由度系统，图2 展示了理论解与数值解的比较，理论解来自对式（4）和式（5）的求解，数值解则是使用了四阶龙格⁃库塔算法对原始方程组式（1）进行了数值仿真的结果. 图2a～c 分别展示了在激励下m₁，m₂ 和m₃ 的位移. 显然，理论结果与数值结果吻合良好. 在图2d 中，绘制了透射率（|T |）随激励压力变化的曲线. 基波的透射率随着激励压力的增加而减小，而二次谐波的传输迅速增加，在某一激励压力下达到最大值后逐渐减小. 因此，本文所提出的理论方法通过与数值解的比较得到了验证. 通过推导出系统振幅的解析解，阐明了谐波生成的原因在于非线性引入了系统两个谐振模式之间的内部共振，促进了能量从较低谐振模式向较高谐振模式的转移.

2 参数调制

本节讨论参数调制，考察三个关键参数的影响，即弹簧二次非线性系数、单元谐振频率和外界激励频率. 调制这些参数可以验证模型的鲁棒性，并且观测这些参数的变化是否对系统整体响应产生较大影响.

2. 1二次非线性系数 为了更全面地理解非线性对系统振动特性的影响，对三自由度系统中两个弹簧的二次非线性系数进行了参数研究，结果如图3 所示. 图3a 与图3b 分别描述了改变系统α₁和α₂ 后，FW 与SH 透射率的变化规律；图3c 和图3d 描绘的三维图展示了两个弹簧的二次非线性系数改变对FW 与SH 透射率变化的整体影响.图中的红星表示在表1 中选择的三自由度系统的非线性系数. 所选取的二次非线性参数会带来较大的二次谐波透射率（gt;0. 8）和相对较小的基波透射率（lt;0. 4）. 此外，仔细分析透射率的变化规律，发现FW呈现“峰通道”（图3c），而SH 则对应“谷通道”（图3d），这意味着在参数选择过程中避免这一波谷有助于有效生成二次谐波.

2. 2共振频率 系统的两个谐振频率的相对变化同样会对整体系统产生影响. 如前文所述，要在系统中实现高次谐波生成，需要精确调制相关结构参数，确保较高谐振频率是较低谐振频率的n 倍，其中n 代表所需的谐波阶数. 然而，固定的谐振频率对结构参数之间的关系施加了约束，但在实际应用中相关参数难免会出现误差. 这些偏差可能导致谐振频率之间的非整数关系，因此，研究由于结构参数不准确而导致的谐振频率相对大小发生变化及其对整体系统的影响显得尤为重要. 定义一个新参数δ 来表征模型结构参数相对于其预定值的偏离程度：

图4展示了随δ [ δ ∈ （-0. 03～0. 03）]变化的FW 和SH 的透射率. 在δ= 0时，模型符合准确的结构参数，二次谐波的透射率超过0. 8，而基波的透射率保持在0. 4以内. δ ∈ （-0. 005～0. 005）时，二次谐波的透射率保持在0. 6以上，而δ∈ （-0. 008～0. 008）时，二次谐波的透射率大于基波，这表明结构参数（如弹簧劲度系数或振子质量）在一定范围内偏离其预设值是可接受的，这也验证了系统的鲁棒性.

2. 3 激励频率 在系统谐波生成过程中，不仅要确保非线性系数保持在特定范围内以及能确保谐振频率相对大小成整数倍关系的结构参数，还需要将外部激励频率与较低的谐振频率进行同步.

在实际场景中，激励频率可能与谐振频率无法完美对齐，从而导致偏差，因此我们探讨了激励频率在较低谐振频率附近变化时FW 和SH 的透射率变化. 图5 展示了激励频率在700～725 Hz的基波和二次谐波的透射率，图中的绿色虚线表示谐振频率712 Hz. 以700～725 Hz 作为激励频率的变化区间，可以观察到在与谐振频率相距1Hz 的范围内，二次谐波的透射率始终大于0. 7.此外，在707～714 Hz，二次谐波的透射率超过基波，这表明激励频率可以有一定偏差，通常控制在几赫兹之内，而系统仍然能够生成较大的谐波.

3 有限元仿真

根据前文介绍的理论，我们设计了一种能够实现高谐波生成的非线性超表面模型. 该模型由多个相同的三自由度单元组成，每个单元包含三个质量块和两个非线性弹簧结构. 为简化参数识别过程，选择K₂ = 2K₁ 和m₂ = 2m₁，这意味着只需调节m₃. 图6a 展示了超表面的时域有限元仿真. 超表面单元的质量结构设置为刚性，并置于空气中. 在COMSOL 中进行仿真时，参数设置如下：空气密度为1. 29 kg ⋅ m^-3；空气中的声速为343 m ⋅ s^-1；三个质量块的材料为API⁃X70 管道钢；非线性弹簧结构的材料为Ingeo Grade2002D；单元厚度为10 mm. 图6b 展示了超材料单元结构的示意图，旨在表明非线性弹簧振子链可以等效表示为由三个刚性质量和两个可以等效为弹簧的结构组成. 图6c 显示了作为非线性弹簧的等效结构，该结构设计轻薄，由两个对称放置的相同圆环构成. 结构参数r₁ 和r₂ 分别表示圆环的内半径和外半径，h 表示两个圆环之间的半距离，d 为等效结构的宽度.

使用有限元软件（COMSOL）获得的仿真结果展示在图7 中. 基于模型中两个谐振频率之间的比例关系，考虑了两种模型，一种是较高谐振频率为较低谐振频率的两倍，另一种为三倍. 图7a和图7c 展示了前者场景，分别描绘了包含二次谐波的传输波的时域和频域. 三个质量块的设置遵循表1. 在此背景下，来自基频（754 Hz）模式的能量大幅转移至高次谐波模式，首先是二次谐波，随后是更高阶的模式，如三次谐波，这在图7e 中得到了确认. 随着激励压力的增加，FW 和SH 的透射率下降，而三次谐波（Third Harmonic，TH）的幅度则增加.

图7b 和图7d 分别展示了另一种模型的传输波时域和频域，目标是仅生成三次谐波. 在这种情况下，三个质量分别设置为34，34 和4. 6 g. 仿真结果表明，来自基频（704 Hz）模式的能量会直接转移至三次谐波模式，导致三次谐波幅度异常巨大，而二次谐波幅度保持有限. 图7f 描绘了当较高谐振频率为较低谐振频率的三倍时，FW，SH 和TH 透射率的变化. 随着激励幅度的增加，FW 的透射率持续下降，而TH 的透射率则持续上升. 与此同时，SH 的透射率始终保持在较低水平，表明FW 模式与TH 模式之间存在直接的能量转移.

仿真确认了通过设置结构参数可以调节系统的谐振频率分布. 在基波模式的激励下，系统能够生成高次谐波，包括显著的二次或三次谐波.

4 结论

本研究提出了一种由非线性弹簧振子构成的新型非线性声学超表面，并采用多重尺度法求解振动幅度的基频成分和二次谐波成分. 研究发现，此弹簧振子链系统具有两个谐振频率. 通过将较高谐振频率设定为较低谐振频率的n 倍，并用较低谐振频率激励系统，系统出现了内部共振，并由此引发了模态间能量的转移，这一过程导致n 次谐波振幅的增大和基频幅度的降低. 模型的鲁棒性通过调制弹簧二次非线性系数、单元谐振频率和外界激励频率这三个关键参数得以验证.尽管存在固有误差，系统的鲁棒性仍得以保证.在这些理论的基础上，我们设计了一种非线性声学超表面结构，通过设置结构参数来增强谐波传输. 该超表面被证明能够产生高透射率的二次或三次谐波. 有限元仿真结果验证了该设计方法的可行性和可靠性，为利用非线性弹簧振子链设计超表面提供了保证. 本工作的关键在于提出了可行的理论方法并进行了广义的谐波分析，既从理论分析的层面解释了系统产生谐波的物理机理，又研究了模型生成不仅限于二次谐波的高次谐波的能力. 该工作提出了通过声学超表面实现高谐波的方法，拓宽了该领域的研究范围并激发了进一步研究的灵感.

（责任编辑 杨贞）