整数模n剩余类环上的2阶全矩阵环的交换图

摘 要：环[R]的交换图是以[R]的所有非中心元为顶点集的简单无向图，图中两个不同的顶点[a]与[b]相邻当且仅当[a]与[b]在R中交换。该文研究全矩阵环[M2（ ℤn）]的交换图，确定了其连通分支、直径和半径；对[n]为素数幂的情形，刻画了[M2（ ℤn）]的交换图的幂等元导出子图和幂零元导出子图的结构，并确定了幂零元导出子图中各顶点的度。

关键词：全矩阵环；交换图；幂等元；幂零元；直径

中图分类号：O159" " "文献标识码：A

0" " 引言

运用图论的知识研究环和群的结构是近些年来的一个新兴研究方向。对任一半环[S]，有[S]的交换图[Γ（S）]，它是一个以[S]的所有非中心元为顶点集的简单无向图，图中两个不同的顶点[a]与[b]相邻当且仅当[ab=ba]。2004年Akbari等[1]研究了一些半单环的交换图，确定了有限域上的全矩阵环的交换图的团数和最大、最小顶点度；并提出猜想：设[R]是环，[F]是有限域，[Mn（F）]是[F]上的[n ]阶全矩阵环，是否有

[ΓMnF≅ΓR ⇒ MnF≅R ？]

2008年Abdollahi[2]证明了当[ Γ（Mn（F））≅Γ（R）]时有[|Mn（F）|=|R|]；特别地，上述猜想当[|F|]是素数且[n=2]时成立。2010年Mohammadian[3]进一步证明，上述猜想在[n=2]时对任意有限域都成立。2011年Dolzan等[4]证明布尔矩阵半环的交换图的直径为3或4。2012年Dolzan等[5]进一步证明3阶及以上的布尔矩阵半环的交换图的直径为4。

本文研究整数模[n]剩余类环[ℤn]上的[2]阶全矩阵环[M2（ ℤn）]的交换图[Γ（M2（ ℤn））]。第1节介绍讨论所需的预备知识。第2节讨论[Γ（M2（ℤn））]的连通性，并在[Γ（M2（ℤn））]是连通图的情况下计算其直径和半径。第3节和第4节在[n]是素数幂的情形，分别研究[Γ（M2（ℤn））]的幂等元导出子图和幂零元导出子图，从边数、连通分支和顶点度等角度刻画这两个子图的结构。

1" " 预备知识

本文中的图均为有限的简单无向图。设[G]是图。[G]的顶点集记为[VG]，G的阶[G]定义为G的顶点数。对于[G]中一列互不相同的顶点[v1， v2， …， vk， vk+1]，如果[vi]与[vi+1]均相邻（[1≤i≤k]），则称[v1-v2-…-] [vk+1]为[G]中一条长度为[k]的路。[G]中顶点[x]与[y]的距离，记作[dx， y]，定义为[G]中从[ x ]到[ y ]的最短路的长度。[G]中顶点[x]的度，记作[degG（x）]，定义为[G]中与[x]相邻的顶点数；[x]的离心率[ε（x）]定义为[x]与[G]中顶点的距离的最大值，即

[εx≜maxd（x，y） | y∈V（G）]。

[G]的直径[diam（G）]和半径[rad（G）]分别定义为[G]中顶点的离心率的最大值和最小值。如果G中任何两个不同的顶点之间都有路，则称G是连通的。[G]的极大连通子图称为[G]的连通分支。如果[G]中任意两个不同的顶点都相邻，则称[G]是一个完全图。设[S]是[V]（G）的非空子集，则G有[S]的导出子图，该图以[S]为顶点集，图中两个顶点相邻当且仅当它们作为[G]中的顶点是相邻的。

对于环[R]，记[U（R）]为[R]的单位群，[D（R）]为[R]的零因子的全体。设[a∈R]，记[CR（a）]为[R]中与[a]乘法可交换的元素的全体。若[CRa=R]，则称[a]是[R]的一个中心元。记[C（R）]为[R]的中心元的全体，称为R的中心。

本文以下总设[p]是一个素数，[t]为正整数。我们将先讨论[M2（ℤpt）]的交换图，然后给出关于一般的[M2（ℤn）]的交换图的结果。

2" " [Γ（M2（ℤn））]的连通性

因环[M2（ℤn）]的中心为

[C（M2（ℤn））=0000，1001， … ，n-100n-1]，

故[V（Γ（M2（ℤn）））]为[ℤn]上的2阶非数量矩阵的全体，从而[Γ（M2（ℤn））=n4-n]。

引理1［1］348 设[F]是有限域，则[Γ（M2（F））]的连通分支数为[F2+F+1]，且其每个连通分支都是[F2-|F|]阶完全图。

由引理1可知[Γ（M2（ℤp））]有[p2+p+1]个连通分支。事实上，[Γ（M2（ℤp））]的各连通分支可明确地表达出来。

命题2 [Γ（M2（ℤp））]的所有连通分支如下：

[A1]= [ab0a" a∈ℤp;b∈U（ℤp）]，[" A2]= [a0ca" a∈ℤp;c∈U（ℤp）]，[" A3]= [a00d" a≠d;a， d∈ℤp]，

[Bλ]= [abλba" a∈ℤp;b∈U（ℤp）]，" "[Cλ]= [aλ（a-d）0d" a≠d;a， d∈ℤp]，

[Dλ]= [a0λ（a-d）d" a≠d;a， d∈ℤp]，" "[Eλ， σ]= [aλ（a-d）λσ（a-d）d" a≠d;a， d∈ℤp]，

其中[1≤λ， σ≤p-1]。

定理3 当[t≥2]时[Γ（M2（ℤpt））]是连通图，且

[diam（Γ（M2（ℤpt）））=3]，" "[rad（Γ（M2（ℤpt）））=2]。

证明 设[α=abcd]和 [β=wxyz是 Γ（M2（ℤpt）]）中两个不同的顶点，我们证明从[α]到[β]必有路。令[（a， b， c， d）]表示整数[a， b， c， d]的最大公因子。

情形1 [pλ ∣ （a， b， c， d）]，[ps ∣ （w， x， y， z）]，其中[1≤λ， s≤t-1]。若[λ+s≥t]，则[α]与[β]相邻；若[λ+slt;t]，则[Γ（M2（ℤpt））]中有路[α—0pt-100—β]。

情形2 [p∤（a， b， c， d）]，[p ∣ （w， x， y， z）]。此时[Γ（M2（ℤpt））]中有路[α—pt-1α—β]。

情形3 [p ∣ （a， b， c， d）]，[p∤（w， x， y， z）]。此时[Γ（M2（ℤpt））]中有路[α—pt-1β—β]。

情形4 [p∤（a， b， c， d）]，[p∤（w， x， y， z）]。此时[Γ（M2（ℤpt））]中有路[α—pt-1α—pt-1β—β]。

综上知[Γ（M2（ℤpt））]是连通的。因[E11E12≠E12E11]，故[ d（E11， E12）gt;1]。易知 [αE11=E11α] 当且仅当 [b=c=0]，[αE12=E12α] 当且仅当 [a=d]，[c=0]，故[α]不可能同时与[E11和E12]相邻 。这表明[ d（E11， E12）gt;] 2，进而由情形4知[ d（E11， E12）=3]。所以[rad（Γ（M2（ℤpt）））=2]，[diam（Γ（M2（ℤpt）））=3]。

引理4［6］18 设n的标准分解为 [n=pt11pt22 … ptmm ]，若[ m≥2]，则

[M2（ℤn）≅M2（ℤpt11）⊕…⊕M2]（[ℤptmm]）。

定理5 设[n]的标准分解为[n=pt11pt22 … ptmm ]，若[m≥2]，则[Γ（M2（ℤn））]是连通图，并且

[diam（Γ（M2（ℤn）））=3]，" " [rad（Γ（M2（ℤn）））=2]。

证明 由引理4知[M2（ℤn） 同构于M2（ℤpt11）⊕…⊕M2]（[ℤptmm]），故只需对后者证明。设[α=（α1， …， αm）]和[β=（β1， …， βm）]是[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]中两个不同的顶点，我们证明从[α]到[β]必有路。

情形1 存在[1≤j≤m]使得[αj]和[βj]均为数量矩阵。

不妨设j = 1。取[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]中的顶点

[γ=（E11， O， …， O）]，

则[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]中有路[α—γ—β]。

情形2 存在[1≤j≤m]使得[αj]是数量矩阵，而[βj]不是数量矩阵。

不妨设j = 1。由定理3，[Γ（M2（ℤpt11））]中存在与[β1]相邻的顶点[λ]。取[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]中的顶点

[γ=] [（λ，" O， …， ] [O）]，

则[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]中有路[α—γ—β]。

情形3 对任意[1≤j≤m]，[αj]与[βj]都不是数量矩阵。

取[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]中的顶点[γ=（α1， O， ] […， O）]，[δ=（O， ] […， O，" βm）]，则[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕]

[M2（ℤptmm））]中有路[α—γ—δ—β]。

综上即知[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]是连通图，且其直径[≤3]。再考虑[Γ（M2（ℤpt11）⊕…⊕M2（ℤptmm））]中的顶点

[α'=（E11， E11， …， E11）]，" [β'=（E12， E12， …， E12）]。

由定理3的证明可知[d（α'， β'）=3]，从而[rad（Γ（M2（ℤn）））=2]，[diamΓM2（ℤn）=3]。

在[M2（ℤpt）]中定义关系[～]如下：对[A， B∈M2（ℤpt）]，

[A～B △ ]存在[a∈Uℤpt]和[b∈ℤpt]使得[ A=aB+bE]。

易见[～]是[M2（ℤpt）]中的一个等价关系， A所在的等价类记为[A]。

引理6［7］33 设集合

[R0={abcd" a-d][ ∈U （ℤpt）]或[b∈U（ℤpt）]或[c∈U（ℤpt）}]。

（i）[ R0]中的等价类的代表元如下所示：

[P0={1ab0， a1b0， ab10][ ， 1cb0， ][1bc0， ][b1c0 ]，[ 1cd0] [ a， d][ ∈ ][pℤpt]，[c， d∈U（ℤpt）}]。

于是 [|P0|=p2t+p2t-1+p2t-2]。可将[P0]中的所有矩阵分别记为[A0， 1， A0， 2，…， A0， |P0|]。

（ii） 设[" Pj=pjP0]，1[≤j≤t-1]，则

[Pj={pjab0， apjb0， abpj0][ ， pjcb0 ]， [pjbc0] ， [bpjc0 ]，[ pjcd0] [ a， d∈pj+1ℤpt， c， d∈pjU（ℤpt）}]。

于是 [|Pj|=p2t-2j+p2t-2j-1+p2t-2j-2]。可将 [Pj]中的所有矩阵分别记为[Aj， 1， Aj， 2， …， Aj， |Pj|]。

令

[Rj=[Aj， 1]⋃[Aj， 2]⋃…⋃[Aj， |Rj|]]，" " [j=0， 1， …， t-1]，

则[M2（ℤpt）]有划分

[M2（ℤpt）=R0⋃R1⋃…⋃Rt-1⋃C（M2（ℤpt））]。

引理7［7］37 设 [A∈M2（ℤpt）]。

（i） 若 [A∈[A0， s]]，[1≤s≤|P0|]，则

[ CM2（ℤpt）（A）=[A0， s]⋃[pA0， s]⋃[p2A0， s]⋃…⋃[pt-1A0， s]⋃C（M2（ℤpt））]。

（ii） 若 [A∈[Ak， s]]，[1≤s≤| Pk|]，1[≤k≤t-1]，则

[ CM2（ℤpt）（A）=Rk， s0 ⋃ Rk， s1⋃…⋃ Rk， st-k-1⋃Rt-k⋃Rt-k+1⋃…⋃Rt-1⋃C（M2（ℤpt）]），

其中[ Rk， sj]表示[Rj]中所有与[Ak， s]交换的等价类。

引理8［8］7，10" 设[A=abcd∈M2（ℤpt）]且[A≠O]，则

（i） [A]是幂等的当且仅当[ pt（ad-bc）且pta+d-1]；

（ii） [A]是幂零的当且仅当[ p（ad-bc）且pa+d]。

引理9 设[w]为偶数，则同余方程 [x2-x+w≡0（mod 2t）] 有解。

证明 对t归纳。易知结论当[t=1]时成立。设结论对t-1成立，即方程 [x2-x+w≡0（mod 2t-1）] 有解 [x0]。令 [x20-x0+w=2t-1k]。若[k]是偶数，则[x0]也是方程[x2-x+w≡0（mod 2t）]的一个解；若[k]是奇数，则[x0+2t-1] 是方程[x2-x+w≡0（mod 2t）]的一个解。所以结论对t也成立。

[3" " Γ（M2（ℤpt））]的幂等元导出子图

记[Ip， t]为[Γ（M2（ℤpt））]中由[M2（ℤpt）]的所有非中心幂等矩阵导出的子图。由文献［9］中的Theorem3.7知 [Ip， t=p2t-1（p+1）]。

定理10 [Ip， t]中两个不同的顶点[α]与[β]相邻当且仅当 [α+β=E]。

证明 只需证必要性。先考虑p为奇素数的情形。由文献［9］中的Theorem 3.12，[M2（ℤpt）]同构于[ℤpt]上的四元数代数

[H（ℤpt）={a+bi+cj+dk] | [a， b， c， d ∈ℤpt}]。

由文献［10］中的Theorem3.2知，[H（ℤpt）]的两个不同的非中心幂等元可交换当且仅当它们共轭。由此可得结论。

设 [p=2]。下面均设 [a， b∈2ℤ2t]， [c， d∈U（ℤ2t）]。令 [B1=]" [1ab0]，我们证明[[B1]]中有幂等矩阵。设 [A1∈[B1]]，则存[ λ1∈U（ℤ2t）]和[ σ1∈ℤ2t]使得

[A1=λ1B1+σ1E=λ1+σ1λ1aλ1bσ1]。

由引理8（i），[ A1]为幂等矩阵当且仅当以下两式同时成立：

[λ1+2σ1≡1 （mod 2t）]，" " " " " " " " " " " " " " " " " " nbsp; nbsp; " " " " " " （1）

[（λ1+σ1）σ1≡λ21ab （mod 2t）]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（2）

由式（1）得 [λ1≡1-2σ1 （mod 2t）]，代入式（2）得

[（4ab+1）σ21-（4ab+1）σ1+ab≡0（mod 2t）]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （3）

令[4ab+1]在[U（ℤ2t）]中的逆元为[m]，在式（3）两边同乘以[m]，得

[σ21-σ1+abm≡0（mod 2t）]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （4）

因为[abm]是偶数，故由引理9知，关于[σ1]的同余方程（4）有解，从而存[ λ1∈U（ℤ2t）]和[ σ1∈ℤ2t]使得式（1）、（2）同时成立。

同理可证，若 [B4=1cb0]和[B5=][ 1bc0]，则[[B4]]和[[B5]]中存在幂等矩阵。

另一方面，令 [B2=a1b0]，若 [A2∈[B2]]，则存[ λ2∈U（ℤ2t）]和[ σ2∈ℤ2t]使得

[A2=λ2B1+σ2E=λ2a+σ2λ2λ2bσ2]。

由引理8（i），若[A2]为幂等矩阵，则有

[λ2a+2σ2≡1 （mod 2t）]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （5）

由于[a∈2ℤ2t]，因此对任意[ λ2∈U（ℤ2t）]和[ σ2∈ℤ2t]，式（5）不成立，所以[A2]不是幂等矩阵。从而[[B2]]中不存在幂等矩阵。

同理可证，若 [B3=] [ab10]，[B6= ][b1c0]，[B7=b1c0]，则[[B3]]，[[B6]]和[[B7]]中均不存在幂等矩阵。

进一步地，若幂等矩阵[α]在某个[[B]]中，则幂等矩阵[-α+E]也在[[B]]中。因此，对于[i=1， 4， 5， ]对于确定的[a， b∈2ℤ2t]以及 [c， d∈U（ℤ2t）]，每个[[Bi]]中至少有两个幂等矩阵。又，形如引理6（i）中的第一、四、五类代表元共有[3×2t-1×2t-1=3×22t-2]个，这些等价类中含有至少

[2×3×22t-2=3×22t-1]

个幂等矩阵。但由文献［9］中的定理3.7，[M2（ℤ2t）]中的非中心幂等矩阵恰有[3×22t-1]个。因此，对于[i=1， 4， 5]，[[Bi]]中有且只有两个幂等矩阵，即在

[[A0， 1]]， [[A0， 2]]， […]， [[A0，" |P0|]]

中，有且只有[3×22t-2]个等价类含有幂等元，含有幂等元的每个等价类均只含有两个幂等元。因此，[M2（ℤ2t）]中的非中心幂等矩阵均属于[[Bi]]中的某一个，[i=1， 4， 5]。

最后，由引理7知，若幂等矩阵[α∈[A0， j]]，其中 [1≤j≤|P0|]，则

[CM2（ℤ2t）（α）=[A0， j]⋃[2A0， j]⋃[22A0， j]⋃…⋃[2t-1A0， j]⋃C（M2（ℤ2t））]。

由以上证明可知，对于[k=1， 2， …， t-1]，[[2kA0， j]]均不含幂等元。 所以，与[α]交换的非中心幂等矩阵[β]只能属于[[A0， j]]。

推论11 [Ip，t]的边数为[p2t-1（p+1）/2]，且其任何两条不同的边都不相邻。

4" " [Γ（M2（ℤpt））]的幂零元导出子图

记[Np， t]为[Γ（M2（ℤpt））]中由[M2（ℤpt）]的所有非中心幂零矩阵导出的子图。由文献［9］的Theorem3.7知 [Np， t=p4t-2][ - pt-1]。注意到[N2，1]只有3个顶点[0100，0010，1111]，且它们互不相邻，故[N2，1]是3阶空图。

定理12 设[p]是奇素数。

（i） [Np， 1]中两个不同的顶点[α]与[β]相邻当且仅当[α]与[β]同属于集合[A*1]，[A*2]，[E*v]之一，其中 1 ≤ v ≤ p - 1：

[A*1] =[ 0b00| b∈U（ℤp）]，" "[A*2] = [00c0| c∈U（ℤp）]，

[E*v] = [aσv（a-d）σvλv（a-d）da≠d;" a， d∈ℤp]。

（ii） [Np，1]有[p+1]个连通分支，且其每个连通分支都是[p-1]阶完全图。

证明" [ℤp]上的2阶幂零矩阵必为如下形式之一：

[0k00]，" "[00k0]，" "[aσ（a-d）σλ（a-d）d]，

其中[k∈U（ℤp）]，[a≠d]，且[σ]，[λ]都是正整数。由命题2可知，对于[任意的α]，[β∈Np， 1]，[αβ=βα]当且仅当[α]与[β]属于相同的集合，且[A*1=A*2=p-1]。又设

[A =aσ（a-d）σλ（a-d）d∈E*v]，

其中 [ 1≤λ， σ≤p-1]且[a≠d]。若[A]是幂零的，则由引理8（ii）得[ p| （a+d]） 以及

[ad-σ2λ（a-d）2≡0（mod p）]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（6）

将 [a≡-d（mod p）] 代入方程（6）得

[d≡2σ2λ （mod p）]。" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （7）

显然，对于[ 1≤λ， σ≤p-1]， 关于[d]的同余方程（7）恰有[p-1]个解，因此[E*v=p-1]。

最后，令[S]表示关于[λ]，[σ]的方程（6）解的个数。因为[Np， 1] = [p2-1]，所以

[S（p-1）+2（p-1）=p2-1]。

由上式解得 [S=p-1]。因此，形如[E*v]的集合共有[p-1]个。所以[Np， 1] 的连通分支有[2+p-1=p+1]个，且其每个连通分支都是[p-1]阶完全图。

证毕。

接下来讨论环[M2（ℤpt）]中的幂零元在各等价类中的分布情况。

命题13 令[Bi]为集合[P0]中的第[i]类代表元，[1≤i≤ 7]。

（i） 当 [p=2]时，[[Bi]]有幂零矩阵当且仅当[i=2， 3，" 6]；[B2，B3，[B6]]中的幂零矩阵的个数均为[22t-2]；对于[0≤j≤t-1]和[1≤k≤7]，[[2jBk]]中的幂零矩阵的个数为[22t-j-2]。

（ii） 当 [p]为奇素数时，[[Bi]]有幂零矩阵当且仅当[i=2，" 3， 7]；[B2，B3，[B7]]中的幂零矩阵的个数均为[p2t-2（p-1）]；对于[0≤j≤t-1]，[[pjBk]]中的幂零矩阵个数为 [p2t-j-2（p-1）]。

（iii） 对于[tgt;j≥]1，[t-j-1≥k≥0]，在[Rk]中与[ pjBi]交换的等价类共有 [p2j+2k] 个。

证明 下面，均令[λ∈U（ℤpt） ]，[σ∈ℤpt]。

（i） 当 [p=2]时，设 [B2]，[B3]，[B6]依次为引理6（i）中的第二、三、六类代表元。若[A1=λB2+σE∈[B2]] 或 [λB3+σE∈[B3]]，则[A1]是幂零元当且仅当 [λ∈U（ℤ2t）]以及[ σ∈D（ℤ2t）]。若[A2=λB6+σE∈[B6]]，则[A2]是幂零元当且仅当 [λ∈U（ℤ2t）]以及[ σ∈U（ℤ2t）]。因此，[[B2]]，[[B3]和[B6]]中的幂零元的个数均为 [22t-2]。

另一方面，当[B1]为引理6（i）中的第一类代表元时，令[A2=λB1+σE∈[B1]]。由于[λ∈U（ℤ2t）]，因此[2∤λ+2σ]，所以[A2]不是幂零元。因此等价类[[B1]]中没有幂零元。同理可证[[Bi]]均无幂零元，[i=4，" 5，" 7]。

进一步地，若[A3=λ2jBk+σE∈[2jBk]]，其中[1≤j≤t-1]，[1≤k≤7]，则[A3]是幂零元当且仅当 [λ∈U（ℤ2t）]以及[ σ∈D（ℤ2t）]。注意到[2jU（Z2t）][ =2t-j-2t-j-1]，故[[2jBk]]中的幂零元的个数为

[（2t-j-2t-j-1）2t-1=22t-j-2]。

（ii） 当[ p≠2]时，若[A4=λB2+σE∈[B2]] 或 [A4=λB3+σE∈[B3]]，同理可证，[A4]是幂零元当且仅当 [λ∈U（ℤpt）]以及[σ∈D（ℤpt）]。所以[[B2]] 和 [[B3]]中的幂零元的个数均为 [p2t-2（p-1）]。若[A5=λB7+σE∈[B7]]，则[A5]是幂零元当且仅当 [λ+2σ∈D（ℤpt）]以及[ 4cd+1∈D（ℤpt）]。易知，对于每个[λ∈U（ℤpt）]，关于[σ]的同余方程 [2σ≡-λ（mod p）]在 [ℤpt]中恰有[pt-1]个解，因此在[ℤpt]中满足[λ+2σ∈D（ℤpt）]的有序组（[λ， σ）]的个数恰为

[pt-1（p-1）pt-1=p2t-2（p-1）]。

所以，当[ 4cd+1∈D（ℤpt）]时，每个等价类[[B7]]中恰有[p2t-2（p-1）]个幂零元。同时，易证在[[Bi]]中均无幂零元，[i=1， 4， 5， 6]。

进一步地，若[A6=λpjBk+σE∈[pjBk]]，其中[1≤j≤t-1， 1≤k≤7]，则[A6]是幂零元当且仅当 [λ∈U（ℤ2t）]以及[σ∈D（ℤpt）]。因[2jU（Z2t）][=pt-j-pt-j-1]，故[[pjBk]]中的幂零元的个数为

[pt-1（pt-j-pt-j-1）=p2t-j-2（p-1）]。

（iii） 由文献［7］中的Lemma3.3可知，对于[t-j-1≥k≥0]，在[ Rk]中与 [pjBi]交换的等价类必形如 [[pk Bi ]]，其中矩阵 [Bi]与[Bi]有相同的形式。不妨令[i=1]，则 [B1=1a'b'0]，[a'，b'∈D（ℤpt）]。易证[pjB1与pkB1] 可交换当且仅当[a≡a' （mod" pt-j-k）]且 [b≡b' （mod" pt-j-k）]。因此，对于事先取定的[a∈D（ℤpt）]，有[ pj+k]个 [a'∈D（ℤpt）] 满足[ a≡a'" （mod" pt-j-k）]。 同理，对于事先取定的[b∈D（ℤpt）]，有[ pj+k]个 [b'∈D（ℤpt）] 满足[ b≡b'" （mod" pt-j-k）]。 所以，对于事先取定的[pjB1]，在[ Rk]中与矩阵 [pjB1] 交换的等价类有[ pj+k× pj+k= p2j+2k] 个，[t-j-1≥k≥0]。

同理可证，对于 [i=2， 3， 4， 5， 6， 7]，在[Rk]中与矩阵[ pjBi]交换的等价类有 [p2j+2k] 个。

若[A∈Np， t]，则[pt-1A∈Np， t]。因此，与定理3的证明类似，可得

定理14 设[t≥2]，则[Np， t]是连通图，并且[diamNp， t=3]，[radNp， t=2]。

最后讨论[Np， t]中各顶点的度。

定理15 设[G=Np， t]，其中[t≥2]，[A]是[G]的一个顶点。

（i） 若[A][ ∈R0]，则 [degG（A）=p2t-1-pt-1-1]。

（ii） 若[A∈[pjBi]]，[tgt;j≥1]， [p]为奇素数，[i=2， 3， 7]；或 [p=2]，[i=2， 3， 6]，则

[degG（A）=p3t+j-2-p2t+2j-2+pt+3j-1-pt-1-1]。

（iii） 若[A∈[pjBi ]]，[tgt;j≥1]，[p]为奇素数，[i=1， 4， 5， 6]；或 [p=2]，[i=1， 4， 5， 7]，则

[degG（A）=p3t+j-2+pt+3j-1-p2t+2j-1-pt-1] - 1。

证明 （i） 设[A∈[B]]，[B∈P0]，则由引理7得

[CR（A）=[B]⋃[pB]⋃[p2B]⋃…⋃[pt-1B]⋃C（R）]，

这里[R=M2（ℤpt）]。由命题13知， [[B]⋃[pB]⋃[p2B]⋃…⋃[pt-1B]] 中的幂零矩阵的个数为

[p2t-2（p-1）+p2t-3（p-1）+…+p2t-（t+1）（p-1）=p2t-1-pt-1]。

因此[degG（A）=p2t-1-pt-1-1]。

（ii） 由引理7可知，在[Γ（M2（ℤpt））]中，对于 [tgt;j≥1]，与矩阵[ A∈pjBi]相邻的所有元素构成的集合为

[ CR（A）=Rj， i0 ⋃ Rj， i1⋃…⋃ Rj， it-j-1⋃Rt-j⋃Rt-j+1⋃…⋃Rt-1]，

这里[ Rj， im] 表示的是[Rm]中所有与[pjBi]交换的等价类，[0≤m≤t-j-1]。由命题13知，集合 [Rj， i0 ⋃ Rj， i1⋃…⋃ Rj， it-j-1]的元素个数为

[（p-1）p2jp2t-2+p2j+2p2t-3+p2j+4p2t-4+…+p2j+2（t-j-1）p2t-（t-j-1）-2] [=p2t+2j-2（pt-j-1）]。

又由引理6可知，[Rs]中的所有等价类共有 [p2t-2s+p2t-2s-1+p2t-2s-2]个，[0≤s≤t-1]。因此，由命题13得，集合[Rt-j⋃Rt-j+1⋃…⋃Rt-1]的元素个数为

[（p-1）[p2t-2（t-j）+p2t-2（t-j）-1+p2t-2（t-j）-2p2t-（t-j）-2+" " " " " " " " " " " " "p2t-2（t-j+1）+p2t-2（t-j+1）-1+p2t-2（t-j+1）-2p2t-（t-j+1）-2+…+" " " " " " " " " " " " "p2t-2（t-1）+p2t-2（t-1）-1+p2t-2（t-1）-2p2t-（t-1）-2]][ =pt-1（p3j-1）]。

所以

[degG（A）=p2t+2j-2（pt-j-1）+pt-1（p3j-1）-1=p3t+j-2-p2t+2j-2] + [pt+3j-1-pt-1-1]。

（iii） 由命题13知，当[p=2]，[i=1， 4， 5， 7]，或[p]为奇素数，[i=1， 4， 5， 6]时，[[Bi]]中没有幂零元。因此，与（ii）类似可得

[degG（A）=p3t+j-2] + [pt+3j-1-p2t+2j-1-pt-1-1]。

证毕。

5" " 结束语

从环或群出发可以引出多种图结构，如单位图、映射图、Cayley图等，通过研究这些图，常常能揭示环或群的不少代数性质。本文对于整数模[n]剩余类环[ℤn]上的全矩阵环[M2（ ℤn）]，讨论了其交换图的连通分支、半径和直径等；特别地，当[n]为素数幂时，对[M2（ ℤn）]的交换图的幂等元导出子图和幂零元导出子图的结构给出了较为详细的刻画。

接下来可以考虑在[M2（ ℤn）]中引入适当的等价关系，将所得到的等价类视为图的顶点，即构造[M2（ ℤn）]的等价类交换图——它的顶点数将少于[M2（ ℤn）]的交换图，同时它可能保持[M2（ ℤn）]的交换图的一些性质，从而为研究带来便利。

致谢 审稿专家对本文中一些结果的表述和证明提出了宝贵的修改意见，笔者在此表示衷心的感谢！

参考文献：

［1］ AKBARI S， GHANDEHARI M， HADIAN M， et al. On commuting graphs of semisimple rings［J］. Linear algebra and its applications，2004，390：345-355.

［2］ ABDOLLAHI A. Commuting graphs of full matrix rings over finite fields［J］.Linear algebra and its applications，2008，428： 2947-2954.

［3］ MOHAMMADIAN A. On commuting graphs of finite matrix rings［J］. Communications in algebra，2010，38： 988-994.

［4］ DOLZAN D， OBLAK P. Commuting graphs of matrices over semirings［J］. Linear algebra and its applications，2011，435： 1657-1665.

［5］ DOLZAN D， BUKOVSEK D K， OBLAK P. Diameters of commuting graphs of matrices over semirings［J］. Semigroup forum，2012， 84： 365-373.

［6］ BROWN W C. Matrices over commutative rings［C］. New York：Marcel Dekker，1992.

［7］ ZHANG H B. Automorphism group of the commuting graph of [2×2] matrix ring over [ℤps]［J］. AIMS Mathematics，2021，6（11）： 12650-12659.

［8］ WEI Y J， XU H Y， LIANG L H. Linear dynamical systems of dimension two over the ring of integers modulo[ pt ]［J］. Discrete mathematics， algorithms and applications，2020，12（6）：2050074.

［9］ CHERAGHPOUR H， GHOSSEIRI N M. On the idempotents， nilpotents， units and zero-divisors of finite rings［J］. Linear and multilinear algebra，2018，67（2）：1-10.

［10］ WEI Y J， TANG G H， SU H D. The commuting graphs of some subsets in the quaternion algebra over the ring of intergers modulo n［J］. Indian journal of pure amp; applied mathemtics，2011，42（5）：387-402.

［责任编辑：彭喻振］

收稿日期：2024-07-22

基金项目：国家自然科学基金项目“布尔网络的代数结构、图结构和不动点研究”（11961050）

作者简介：韦扬江，博士，南宁师范大学教授，电子邮箱为gus02@163.com。