调和分数Ornstein-Uhlenbeck金融模型的参数估计

摘 要：为了描述金融资产价格过程的长相依性和自相似性，首先构建由调和分数布朗运动驱动的分数Ornstein-Uhlenbeck（O-U）模型.由于调和分数布朗运动是分数布朗运动的推广，故所构建的模型具有更广泛的应用.然后基于离散观测样本，利用最小二乘方法，得到模型漂移参数的估计量，并证明了估计量的相合性和渐近分布.最后，通过模拟展示了所得估计量的有限样本性质，模拟结果显示估计量的值拟合参数真值的效果较好.

关键词：最小二乘估计;调和分数布朗运动;Ornstein-Uhlenbeck过程;相合性;渐近分布

中图分类号：O211.6;F830.9"""" 文献标志码：A""" 文章编号：1000-2367（2025）01-0075-07

自随机微分方程理论创立以来，在许多领域得到了广泛的应用，特别是金融、经济等领域.近年来，许多学者对由分数布朗运动驱动的随机微分方程的参数估计及估计量的渐近性质进行了深入研究.分数布朗运动是一个正态随机过程，其被广泛应用于天文学、原子物理学、分子物理学和金融等领域.MEERSCHAERT等［1-2］在分数布朗运动的滑动平均表示的基础上加入了指数回调，研究了调和分数布朗运动模型.CHEN等［3］讨论了调和分数布朗运动的遍历性和Fokker-Planck方程，并引入了调和分数Langevin方程.SHEN等［4］通过输运过程给出了调和分数布朗运动的一个强近似，并推导出了收敛速度.此外，SABZIKAR等［5］阐明了第二类调和分数布朗运动，并证明了其与调和分数布朗运动是两个不同的过程.

在过去的几十年中，有很多常用的方法来估计随机微分方程中的参数，例如，最小二乘法，极大似然估计法.WANG等［6］基于离散高频观测，利用最小二乘法估计了由Lévy噪声驱动的O-U过程的参数，并研究了估计量的渐近行为.DING等［7］研究了离散时间观测下由分数Lévy噪声驱动的CIR模型的最小二乘估计量，并通过模拟研究展示了估计量的有效性.TANAKA等［8］在特定初始值下得到了分数Vasicek模型漂移参数的极大似然估计量，分别在平稳情况、爆炸情况和边界情况下建立极大似然估计量的渐近理论，同时发现估计量的渐近理论依赖于Hurst参数的值.LOHVINENKO等［9］将TANAKA等［8］特定的初始值扩展到任意取值.PRAKASA RAO［10］研究了混合分数Vasicek模型的极大似然估计量的渐近性质.其他估计方法见文献［11-13］.

在已有的文献中，BONIECE等［14］首次构造基于调和分数布朗运动的小波分析，提出了一种新的非线性对数回归小波估计，并证明了估计量的相合性和渐近正态性.BONIECE等［15］用小波构造了调和分数布朗运动的第一种统计方法，对分数布朗运动和调和分数布朗运动进行有效性测试，用实例证明调和分数布朗运动

模型比分数布朗运动模型更好. 本文基于离散观测样本利用最小二乘法研究了由调和分数布朗运动驱动的O-U过程漂移参数的估计问题，并证明了所得估计量的渐近理论，最后用数值模拟展示了估计量的拟合效果.

1 模型和最小二乘估计

其中x0＞0是初始值，｛BH，λt，t0｝是参数λ＞0且H∈（0，+∞）的调和分数布朗运动，漂移参数α≠0是未知参数.下面，首先介绍一些关于调和分数布朗运动的基本知识（可参见文献［1］）.

定义1 设B（dx）是R上独立的高斯随机测度，其控制测度为m（dx）=dx，则对任意的H＞0且λ＞0，随机积分

被称为调和分数布朗运动，其中（x）+=xI（x＞0），00=0.调和分数布朗运动的协方差函数可以表示为

对于任意的s，t∈R.对t≠0，

其中C20=0，Kv（z）是二阶修正的Bessel函数，即

值得注意的是，在H∈（0，1），λ=0的情况下，BH，0t是分数布朗运动，具有平稳增量和自相似性（参见文献［16］）.

调和分数布朗运动是一个具有平稳增量的高斯过程，因此，对任意的比例系数c＞0，有

随机微分方程（1）的解可写为

下一节，将讨论所得到的估计量的渐近性质.

2 相合性和渐近分布

本节主要证明所得估计量的相合性和渐近分布，首先给出如下引理.

其中常数C依赖于参数H，λ，α，T.

和

把式（17）、（18）代入式（16），可得：

同理可得：

下面的定理1给出了估计量的相合性.

结合式（8），可得：

由引理1，对任意给定的δ＞0，有

由式（21）、（22）可得：

当n→∞，α→0，且n12α→0时，有

其中

对任意给定的δ＞0，有

由式（23）、（24）和（25）可得：

下面，研究估计量的渐近分布.首先给出如下的引理.

3 模拟研究

模拟步骤如下：

1）设定参数α，σ，H，λ的值，确定时间跨度T，样本容量m，n.

2）由式（28）模拟观测值XΔ，X2Δ，…，XnΔ.

3）用｛XiΔ｝ni=1估计基于式（13）给出的估计量.

4）重复上述程序100次，得到的均值和标准差.

表1、表2、表3给出了模型参数H，λ，σ在不同取值下所得估计量的模拟结果.由模拟结果可知，所得估计量逼近真值的效果良好.

参 考 文 献

［1］MEERSCHAERT M M，SABZIKAR F.Tempered fractional Brownian motion［J］.Statistics amp; Probability Letters，2013，83（10）：2269-2275.

［2］MEERSCHAERT M M，SABZIKAR F.Stochastic integration for tempered fractional Brownian motion［J］.Stochastic processes and their applications，2014，124（7）：2363-2387.

［3］CHEN Y，WANG X D，DENG W H.Localization and ballistic diffusion for the tempered fractional Brownian-Langevin motion［J］.Journal of Statistical Physics，2017，169（1）：18-37.

［4］SHEN G J，XIA L W，ZHU D J.A strong convergence to the tempered fractional Brownian motion［J］.Communications in Statistics-Theory and Methods，2017，46（8）：4103-4118.

［5］SABZIKAR F，SURGAILIS D.Tempered fractional Brownian and stable motions of second kind［J］.Statistics amp; Probability Letters，2018，132：17-27.

［6］WANG Q B，SHEN G J，GAO Z L.Least squares estimator for Ornstein-Uhlenbeck processes driven by small fractional Lévy noises［J］.Communications in Statistics-Theory and Methods，2021，50（8）：1838-1855.

［7］DING J R，WEI C.Parameter estimation for discretely observed Cox-Ingersoll-Ross model driven by fractional Lévy processes［J］.AIMS Mathematics，2023，8（5）：12168-12184.

［8］TANAKA K，XIAO W L，YU J.Maximum likelihood estimation for the fractional Vasicek model［J］.Econometrics，2020，8（3）：1-28.

［9］LOHVINENKO S，RALCHENKO K.Maximum likelihood estimation in the fractional Vasicek model［J］.Lithuanian Journal of Statistics，2017，56（1）：77-87.

［10］PRAKASA RAO B L S.Maximum likelihood estimation for sub-fractional Vasicek model［J］.Random Operators and Stochastic Equations，2021，29（4）：265-277.

［11］BROUSTE A，IACUS S M.Parameter estimation for the discretely observed fractional Ornstein-Uhlenbeck process and the Yuima R package［J］.Computational Statistics，2013，28（4）：1529-1547.

［12］HU Y Z，NUALART D，ZHOU H J.Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes of general Hurst parameter［J］.Statistical Inference for Stochastic Processes，2019，22（1）：111-142.

［13］CHEN Y，LI Y，PEI X Z.Parameter estimation for Vasicek model driven by a general Gaussian noise［J］.Communications in Statistics-Theory and Methods，2023，52（9）：3132-3148.

［14］BONIECE B C，SABZIKAR F，DIDIER G.Tempered Fractional Brownian Motion：Wavelet Estimation and Modeling of Turbulence in Geophysical Flows［C］.IEEE Statistical Signal Processing Workshop （SSP）.［s.l.］：IEEE，2018.

［15］BONIECE B C，DIDIER G，SABZIKAR F.Tempered fractional Brownian motion：wavelet estimation，modeling and testing［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2021，51：461-509.

［16］MOLZ F J，LIU H H，SZULGA J.Fractional Brownian motion and fractional Gaussian noise in subsurface hydrology：A review，presentation of fundamental properties，and extensions［J］.Water Resources Research，1997，33（10）：2273-2286.

［17］AIT-SAHALIA Y.Maximum likelihood estimation of discretely sampled diffusions：a closed-form approximation approach［J］.Econometrica，2002，70（1）：223-262.

Parameter estimation of tempered fractional Ornstein-Uhlenbeck financial model

Abstract： In order to describe the long-range dependence and self-similarity of financial asset price process， this paper first constructs a fractional Ornstein-Uhlenbeck （O-U） model driven by tempered fractional Brownian motion. Because tempered fractional Brownian motion is a generalization of fractional Brownian motion， the model constructed has more extensive applications. Based on discrete observation samples， the estimator for the model of the drift parameter is obtained by using the least square method， the consistency of the estimator is proved， and the asymptotic distribution of the estimator is given. Finally， the simulation shows the finite sample property of the estimator， and the simulation results show that the estimator is effective.

Keywords： least squares estimation; tempered fractional Brownian motion; Ornstein-Uhlenbeck process; consistency; asymptotic distribution