基于Kriging模型的中承式系杆拱桥索力优化研究

摘要：针对大跨度钢管混凝土系杆拱桥吊杆索力优化中有限元模型计算量较大的问题，文章以某大跨度钢管混凝土系杆拱桥为例，提出了一种基于Kriging代理模型的系杆拱桥吊杆索力优化方法。该方法基于有限元模型生成结构随机变量与体系应变能的样本数据，通过Kriging模型进行插值拟合，引入动态交叉、变异改进的遗传算法对考虑结构体系应变能最小的吊杆索力优化模型进行求解。结果表明：Kriging插值算法可以作为代理模型替代有限元模型进行吊杆索力优化计算；动态遗传算法相较于标准遗传算法对吊杆索力优化问题的收敛性更好；优化后吊杆索力与优化前大致相同，主梁弯矩最大降幅约为8%，轴力最大降幅约为13%，跨中挠度降幅约为13%。

关键词：系杆拱桥；吊杆；索力优化；Kriging插值；遗传算法

中图分类号：U448.22+5" " " " "文献标识码：A" " " "DOI：10.13282/j.cnki.wccst.2024.11.047

文章编号：1673-4874（2024）11-0158-05

0引言

系杆拱桥是一种以主梁、拱肋为基本结构构件的组合式拱桥桥型，由主梁和拱肋共同承受荷载，可以充分利用主梁的抗弯能力与拱肋的抗压能力，同时系杆拱桥造型优美，线型流畅，因此被广泛应用于城市桥梁建设之中。系杆拱桥中连接拱肋和主梁的构件是吊杆，吊杆索力的大小直接决定了主梁上的内力分布趋势，如何优化吊杆索力一直是设计者和专家关注的重点问题。近年来，各专家学者对于系杆拱桥的吊杆索力优化提出了不同的优化设计方法。王宪玉等［1］针对大跨度钢管混凝土系杆拱桥的索力优化问题，采用能量法建立了不同约束条件下的吊杆索力优化模型，采用有限元软件进行分析，实现了吊杆设计阶段的索力优化与成桥阶段的内力计算，相关结果为桥梁运营阶段的吊杆索力测试提供了一定的依据。徐海宾等［2］以桁式钢管混凝土系杆拱桥为工程背景，以系杆拱桥成桥合理拱轴线和结构体系应变能为目标函数，建立了系杆拱桥多目标索力优化模型，通过分析拱桥上、下弦杆和主梁的内力结果，验证了该优化模型的有效性。潘建龙［3］以石浦大桥为研究对象，为确保桥梁结构运营阶段的安全可靠，通过理论计算和有限元模拟的方法探讨了系杆拱桥一次性索力优化调试方法，并根据索力调整的实测结果验证了该方法的可行性。丁祥文［4］为确定系杆拱桥索力的高效计算方法，基于数值迭代理论将系杆拱桥索力优化的非线性问题转化为线性问题，提出了基于单一控制指标的系杆拱桥索力优化方法，并以不同张拉方案和迭代次数下的系杆拱桥安全储备为基本指标确定了最优的吊杆索力张拉方案，相关结果表明该方法可以良好地适用于实际工程。于孟生等［5］对影响矩阵法进行了改进，建立了一种基于改进影响矩阵的大跨度钢管混凝土拱桥吊杆索力优化模型，根据有限元计算结果和工程实测结果验证了该方法的可行性。

从相关研究可以看出，目前大跨度钢管混凝土系杆拱桥索力优化问题的求解仍依赖于有限元模型的大量迭代计算，求解问题中仍存在计算效率不高、计算资源成本较大的问题。针对该问题本文提出了一种基于Kriging插值算法代理模型的系杆拱桥吊杆索力优化方法，通过动态遗传算法与Kriging模型对系杆拱桥索力进行了优化求解，避免了有限元模型计算量较大的问题，相关结果可为类似工程提供一定的参考。

1工程概况

某中承式系杆拱桥跨径布置为（100+450+100）m，其中主跨计算跨径为450 m。主桥采用双肢拱中承式钢箱，桥面竖曲线半径R=4 500 m，桥面宽45.8 m。边跨拱肋与中跨拱肋处于同一平面，两片拱肋之间通过K形风撑相连，边跨加劲梁分别在中跨和边跨的拱肋交汇处与拱肋固结。吊杆采用对称式双索面设计，单侧吊杆共计38根，均匀分布于拱肋与系梁之间。桥型布置图如图1所示。

采用有限元软件建立桥梁的数值计算模型，拱肋采用梁单元和壳单元共同模拟，系梁、立柱、横梁、横撑和风撑等结构构件采用梁单元模拟，吊杆和水平拉索由于仅受轴向力，故采用桁架单元进行模拟。桥梁主墩与拱肋、系梁之间采用全位移转角固结约束，边墩与上部结构之间的支座采用弹簧单元进行模拟，主、边墩底部均设有弹簧单元支座。主梁两端压重采用质量单元进行模拟。有限元模型如图2所示。

2索力优化模型的建立

系杆拱桥是一种外部静定、内部超静定的桥型结构，主梁系杆主要承受压力和弯矩，拱肋也同时承受轴向压力和弯矩，而吊杆主要承受轴向拉力，将主梁上的荷载传递至钢拱肋，为主梁提供竖向分力以确保主梁维持合理线形。对于系杆拱桥而言，结构体系主要承受拉压应变能和弯曲应变能见式（1）：

U=∫Ma（x）22EaIadx+∫Na（x）22EaAadx+∫Mt（x）22EtItdx+∫Nt（x）22EtAtdx（1）

式中：U——结构应变能；

Ma、Na——荷载作用下拱肋的弯矩和轴力；

Mt、Nt——荷载作用下系杆的弯矩和轴力；

Ea——拱肋截面的弹性模量；

Et——系杆截面的弹性模量；

Ia——拱肋截面的抗弯惯性矩；

It——系杆截面的抗弯惯性矩；

Aa——拱肋截面面积；

At——系杆截面面积。

为计算系杆拱桥结构应变能，需要将结构进行单元离散化分析，假定离散后的单元截面积和弹性模量等属性与整体单元一致，而弯矩沿单元方向呈线性变化，则任意离散单元的弯矩如式（2）所示：

M（x）=Ml，n+Mr，n-Ml，nLn（2）

式中：Ml，n、Mr，n——离散后微分单元左、右端的弯矩值；

[KG18mm]Ln——离散微分单元的单元长度；

n——离散单元数量。

同理，离散单元的轴力可表示为式（3）：

N（x）=Nl，n+Nr，n-Nl，nLn（3）

式中：Nl，n、Nr，n——离散后微分单元左、右端的轴力值。

此时，单元离散化后的结构体系应变能可表示为式（4）：

U=∑jn=1Ln6EnIn（M2l，n+Mr，nMl，n+M2r，n）+∑jn=1Ln6EnAn（N2l，n+Nr，nNl，n+N2r，n）（4）

式中：En、In和An——第n个离散单元的弹性模量、截面惯性矩和截面面积。

除结构弯曲应变能外，系杆拱桥系梁线形是结构的重要控制指标之一，为确保结构成桥后系梁挠度满足要求，以吊杆与系梁连接位置作为系梁挠度控制点，则成桥后的系梁累积挠度可表示为式（5）：

δ=∑si=1δi（5）

式中：δ——系梁累积挠度；

δi——系梁各挠度控制点挠度；

[KG7.5mm]s——总挠度控制点数量。

由于系杆拱桥结构呈中心对称，故进行优化索力求解时仅需计算单索面一侧索力值大小，令吊杆索力矩阵为X=（x1，x2，…，x19）T，为保证优化后吊杆的可靠性，定义吊杆索力安全系数对决策变量取值范围进行约束，如式（6）所示：

X*≤βX（6）

式中：X*——优化后的索力矩阵；

β——安全系数。

根据上述分析，建立系杆拱桥索力优化数学模型，如式（7）所示：

Find Xmin（U，δ）

s.t.X*≤βXδ≤δmax（7）

3基于Kriging模型的索力优化流程

3.1基于Kriging的系杆拱桥响应模型的建立

采用有限元模型进行索力优化迭代计算时，需要消耗很大的计算资源，本文采用Kriging模型对结构响应数据进行拟合，通过Kriging代理模型提升吊杆索力优化的计算效率，节约计算成本。Kriging模型是一种基于Kriging插值算法［6-7］，以无偏估计为基本原理的响应面预测模型，核心思想是根据响应空间中待预测值与其他已知响应点的关系进行预测。Kriging插值基本模型可描述为：

y（x）=∑ni=1βifi（x）+z（x）（8）

式中：y（x）——系杆拱桥结构响应预测值；

βi——基函数的权值；

fi（x）——列回归函数组成的基函数；

z（x）——系统偏差。

Kriging回归模型中的预测响应与实际结构响应之间的系统偏差z（x）服从均值为0，协方差如式（9）的分布：

cov［z（u），z（v）］=σ2R（θ，u，v）（9）

R（θ，u，v）=∏mk=1Rk（θk，dk）=uki-vki（10）

式中：σ——系统偏差随机分布的方差；

R（θ，u，v）——空间相关性函数；

θ——空间相关性函数参数；

u，v——样本点参量；

d——样本点之间的欧氏距离。

根据Kriging模型的基本插值原理，构建系杆拱桥随机变量与结构响应的预测模型，令系杆拱桥随机变量为T，结构应变能响应为Y，定义r（x）=［R（t，t1），R（t，t2），…，R（t，tn）］T，β=（FTR-1F）FTR-1Y，此时系杆拱桥随机变量组合t下对应的预测弯曲应变能响应y的均值和方差如式（11）、式（12）所示：

μy⌒（t）=fT（t）β+rT（t）R-1（Y-Fβ）（11）

s2y⌒（t）=σ2z（1-rT（t）R-1r（t）+hT（FTR-1F）-1h）（12）

式中：μy⌒（t）——系杆拱桥试验点响应均值；

s2y⌒（t）——响应预测的方差。

从上述模型构建原理可以看出，基于Kriging的系杆拱桥结构响应代理模型的预测精度比较依赖于空间相关性函数R的选取，考虑到实际工程结构随机变量与结构响应之间的数据样本呈高度非线性的特征，故本文选取高斯函数作为Kriging模型的空间相关性函数，高斯空间相关性函数表达式如式（13）所示：

R（θ，d）=exp-∑mk=1θk（uki-vkj）2（13）

式中：m——样本点数量。

3.2基于改进遗传算法的索力优化模型求解

遗传算法是一种以自然选择和生物遗传为基本仿生原理的智能优化搜索算法，通过优胜劣汰、适者生存的途径将适应度较高的染色体进行保留和传承，适应度较低的染色体淘汰。本文基于改进遗传算法对系杆拱桥的索力优化问题进行求解。

遗传算法是一种收敛能力较强、收敛效率较高的全局寻优算法，其收敛策略与偏好受算法中染色体交叉率Pc和变异率Pm的影响［8-10］，标准遗传算法中交叉率Pc和变异率Pm的取值大多为常数，这就导致了算法在全局寻优时收敛偏好较为单一，不能很好地适应具体的优化问题。因此文本引入一种动态交叉、变异机制对标准遗传算法进行改进，动态交叉、变异算子表达式如式（14）、式（15）所示：

Pc=Pc1-（Pc1-Pc2）（f*-favg）fmin-favg，f*＜favgPc1，f*≥favg（14）

Pm=Pm1-（Pm1-Pm2）（fmin-f*）fmin-favg，f＜favgPm1，f≥favg（15）

式中：Pc、Pm——动态交叉算子、变异算子；

Pc1、Pc2、Pm1、Pm2——给定的交叉、变异概率值；

f*——交叉步骤中个体的较小适应度；

favg——交叉、变异操作中种群的平均适应度；

fmin——交叉、变异操作中种群的最小适应度。

基于改进遗传算法和Kriging代理模型的系杆拱桥索力优化流程如图3所示。

步骤1：采用有限元软件计算系杆拱桥在随机变量下的结构应变能，生成系杆拱桥随机变量与结构应变能之间的数据样本，并进行数据预处理。

步骤2：基于Kriging模型拟合系杆拱桥结构响应面，直至Kriging模型满足精度要求。

步骤3：采用二进制编码将吊杆拱桥索力编译为遗传算法染色体携带的遗传，基于遗传算法对考虑结构应变能最小的吊杆索力进行寻优，采用Kriging代理模型计算染色体适应度。

步骤4：采用动态交叉、变异算子更新遗传算法参数，进行交叉、变异操作，生成新的子代染色体并重新根据Kriging代理模型计算适应度值。

步骤5：判断动态遗传算法是否满足算法终止条件，若满足则输出最优索力结果，不满足则返回上一步。

4结果分析

采用Matlab软件中的Kriging工具箱对结构响应进行拟合，在Matlab中编写动态遗传算法程序调用Kriging模型工具箱进行系杆拱桥的索力优化分析，为对比动态交叉、变异算子对索力优化问题的影响，对相同样本集采用标准遗传算法进行优化分析。图4给出了标准遗传算法和动态遗传算法的染色体适应度进化曲线。从图4可以看出，动态遗传算法在迭代前期进化效率远高于标准遗传算法，且在进化后期动态遗传算法仍保留了一定的变异能力，最终算法收敛精度远高于标准遗传算法。

图5给出了基于动态遗传算法的索力优化结果，由于结构对称性，仅对1#～19#吊杆索力进行分析。观察1#～19#吊杆索力可知，优化前后索力从端点至跨中的增减趋势大致相同，相较于设计索力1#～3#、9#～19#吊杆索力均有不同程度的降低，4#～8#索力存在小幅提升，各吊杆索力分布相较于优化前均匀性更好。

图6为优化前后的主梁弯矩对比曲线。从图6可以看出优化后主梁弯矩在拱脚附近与优化前基本相同，跨中区域主梁弯矩存在一定的降低，跨中位置最大弯矩由7 687.72 kN·m降低至7 067.03 kN·m，降幅约8.07%。根据主梁上弯矩大小的变化可以得出，优化后的索力在一定程度上降低了主梁的弯曲应变能，主梁弯矩分布相较于优化前得到了一定的改善。

图7为优化前后的主梁轴力对比曲线。图7的相关结果表明，优化索力计算下的主梁轴力得到明显降低，最大降幅出现在靠近跨中侧，轴力值由-16 489.4 kN降低至-14 354.12 kN，降幅约13%，说明采用优化索力后，主梁由轴力产生的拉、压应变得到明显减小。

图8为优化前后的主梁挠度的对比曲线。由图可知，优化索力计算下的主梁挠度峰值由7.98 cm降低至6.97 cm，跨中挠度降幅约12.66%，说明主梁挠度控制目标函数明显改善了优化后的主梁挠度。

5结语

本文针对系杆拱桥索力优化问题中存在的模型计算量大、优化求解困难的问题，提出了一种基于Kriging代理模型的系杆拱桥索力优化方法，使用Kriging作为结构代理模型替代有限元模型，采用动态改进的遗传算法对吊杆索力进行寻优求解，得到结论如下：

（1）采用Kriging模型可以避免有限元模型结构计算时计算量较大、计算资源耗费过多的局限性，Kriging模型在吊杆索力优化中可以作为索力优化代理模型进行迭代计算与分析。

（2）基于动态交叉、变异改进的遗传算法在吊杆拱桥索力寻优问题上的适应性相较于标准遗传算法更好，种群进化效率更快，收敛精度更高。

（3）优化后的吊杆索力相较于原索力较为均匀，除部分吊杆外，大部分吊索索力值存在不同程度的降低，主梁弯矩最大降幅约为8%，轴力最大降幅约为13%，跨中挠度降幅约为13%，结构应变能得到明显改善。

参考文献：

［1］王宪玉，王兴武，梁孝，等.大跨度钢管混凝土系杆拱桥吊杆索力分析［J］.振动与冲击，2023，42（17）：306-313.

［2］徐海宾，雷余鹏，李磊.桁式钢管混凝土系杆拱桥拱轴线及吊杆索力优化［J］.科学技术与工程，2023，23（22）：9 659-9 665.

［3］潘建龙.石浦大桥钢管混凝土系杆拱吊杆索力调整方法研究［J］.中国水运，2023（7）：136-138.

［4］丁祥文.刚性系杆拱桥吊杆张拉力迭代计算方法与张拉方案对比研究［J］.上海公路，2023（2）：62-67，86，189.

［5］于孟生，姚鑫玉，郑皆连，等.大跨度钢管混凝土拱桥吊杆索力优化实用方法［J］.桂林理工大学学报，2023，43（1）：78-82.

［6］文启军，李杰，吴欣，等.基于优化Kriging模型的小概率失效结构可靠度计算方法［J］.公路工程，2023，48（4）：37-43，90.

［7］侯赓舜，徐永利，徐志刚，等.基于Kriging算法与PSO算法的桁架机器人横梁模块智能优化设计方法［J］.科学技术与工程，2023，23（18）：7 758-7 763.

［8］牟星辰，孟祥忠.基于改进遗传算法的配电网多目标无功优化设计［J］.青岛科技大学学报（自然科学版），2023，44（6）：95-101，118.

［9］郑堃，练志伟，顾新艳，等.采用改进两点交叉算子的改进自适应遗传算法求解不相关并行机混合流水车间调度问题［J］.中国机械工程，2023，34（14）：1 647-1 658，1 671.

［10］赵霖，王爱民，王崑声，等.基于改进遗传算法的虚拟制造单元继承性重构调度技术［J］.红外与激光工程，2022，51（11）：343-352.

作者简介：邓俊华（1992—），工程师，主要从事公路桥梁工程项目施工管理工作。

收稿日期：2024-05-08