带分布时滞和阻尼项的偶阶中立型广义弹性杆方程组的振动性分析

摘 要：讨论了一类非线性广义弹性杆组的振动性分析，引入一类新型函数， 再利用广义Riccati方法，在不须利用特征值定理前提下，获得了该广义弹性杆组在Robin边界条件下每个解振动一些充分性定理，推广了相关文献的结论.

关键词：广义弹性杆方程组；分布时滞；振动性；中立型

中图分类号：O 175.26" 文献标识码：A" 文章编号：1007-6883（2024）06-0001-07

DOI：10.19986/j.cnki.1007-6883.2024.06.001

在自然界、工程技术、日常生活和社会生活中，普遍存在着物体的往复运动或状态的循环变化，这类现象称为振荡．振动是一种特殊的振荡，即平衡位置附近微小或有限的振荡，如声波和超声波、工程技术中的机器和结构物的机械振动、无线电和光学中的电磁振荡等．在非线性振动力学中，弹性杆组是一类重要的研究对象，因为其广泛应用于石油钻探、海底电缆、传动轴系等多数现代工程，所以全面准确了解弹性杆组的振动状态对这些现代工程研究有着重要的实际指导意义．而弹性杆组常常表示为偏微分方程组，因此透过对偏微分方程组的振动性的深入分析，将有助于了解所对应的弹性杆组的振动状态，可以对这些现代工程在减振降噪方面具有一定的理论指导作用．在过去的二十多年，很多学者对广义弹性杆方程（组）振动理论的研究产生了浓浓的兴趣，取得了许多成果［1-18］．本文将考虑一类具分布时滞和阻尼项的偶阶中立型广义弹性杆方程组

[∂n∂tnui（x，t）+αβp（t，ξ）ui[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）+b（t）∂n-1∂tn-1ui（x，t）+αβp（t，ξ）ui[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）+j=1mcdqij（x，t，η）uj[x，r（t，η）]dμ（η）=ai（t）hi（ui）Δui（x，t）+k=1saik（t）hik（ui（x，ρk（t）））Δui（x，ρk（t）），" "（x，t）∈Ω×R+≡G，" i=1，2，…，m] （1）

在Robin边界条件

[∂ui（x，t）∂ν+gi（x，t）ui（x，t）=0，" " （x，t）∈∂Ω×[0，∞），] （2）

下解的振动性，所得结论推广和改进文献［17］的结果．其中[n≥2]是偶数，[ℝ+=[0，∞），Ω⊂ℝJ]是具有分片光滑边界[∂Ω]的有界区域，[Δui（x.t）=r=1J∂2ui（x.t）∂x2r]，[ i=1，2，…，m，][ν]是[∂Ω]上的单位外法向量，[gi（x，t）]是[∂Ω×[0，∞）]上非负连续函数．式（1）中的积分为Stieltjes积分．

本文总假设下面条件成立

（H1）[p（t，ξ）∈C（[t0，∞）×[α，β]，ℝ+）， P（t）=αβp（t，ξ）dτ（ξ）≤Plt;1，P]为常数；

（H2）[g（t，ξ）∈C（[t0，∞）×[α，β]，ℝ）， g（t，ξ）≤t， limmint→∞ξ∈[α，β]g（t，ξ）=∞]；

（H3）[qij（x，t，η）∈C（Ω×ℝ+×[c，d]， （0，∞））， qij（t，η）=maxx∈Ω{qij（x，t，η）}， qii（t，η）]

[=minx∈Ω{qii（x，t，η）}，][ q（t，η）=min1≤i≤m{qii（t，η）-j=1，j≠imqji（t，η）}≥0]，[Q（t）=cdq（t，η）dμ（η）]，[i， j=1，2，…，m]；

（H4）[r（t，η）∈C（[t0，∞）×[c，d]，ℝ）]关于[t，η]均为不减，[ddtr（t，c）]存在，

[r（t，η）≤t，limmint→∞η∈[c，d]r（t，η）=∞]；

（H5）[ai（t），aik（t）∈C（[t0，∞），ℝ+）， ρk（t）∈C（[t0，∞），ℝ）， limt→∞ρk（t）=∞，k=1，2，…，s;]

[qi∈C（G;[0，∞））， qi（t）=minx∈Gqi（x，t）， q（t）=min1≤i≤mqi（t）]，[ i=1，2，…，m];

[fijγ∈C（G×R，R）]，当[uj≠0]时，[fijγ（t，x，uj）uj≥hijγ]，其中

[hijγ∈C（G，（0，∞）），hijγ（t）=][minx∈Ghijγ（x，t），hijγ（t）=supx∈Ghijγ（x，t），Qγ（t）=min1≤i≤m{hijγ（t）-j=1，j≠imhijγ（t）}≥0，][i，j=1，2，…，m]，[];

（H6）[hi（ui）， hik（ui）∈C1（ℝ，ℝ+）， uih′i（ui）≥0， ujh′ik（uj）≥0， i=1，…，m，k=1，…，s;]

（H7）[τ（ξ），μ（η）]分别是[[α，β]]和[[c，d]]的不减函数，[b（t）∈C（[t0，∞），ℝ+）]，且

[t0∞exp（-t0tb（ξ）dξ）dt=∞.]

1 预备知识

本文引入一类[Φ（t，s，l）]型的新函数，再利用广义Riccati方法，在不须利用特征值定理前提下，获得了边界问题（1）、（2）的解振动的若干充分性定理．

定义1 如果向量函数[u（x，t）={u1（x，t）， u2（x，t），…， um（x，t）}T]在[G=Ω×R+]上满足式（1）和边界条件（2），则称该向量函数为问题（1）、（2）的解．

定义2 如果向量函数[u（x，t）={u1（x，t）， u2（x，t），…， um（x，t）}T]的一个非平凡分量[ui（x，t）]在[G=Ω×[μ0，∞）]上对每个[μgt;μ0]均存在一个点[（x0，t0）∈Ω×[μ，∞）]使得[ui（x0，t0）=0]，则称该向量函数是振动的．

定义3 如果问题（1）、（2）的向量解[u（x，t）={u1（x，t），u2（x，t），…，um（x，t）}T]在[G=Ω×R+]上的非平凡分量中至少有一个是振动的，则称该向量函数为振动的，否则，向量解[u（x，t）]称为非振动的．

定义4 设[D={（t，s）|t≥s≥t0}]，称函数[H（t，s）∈C（D，R）]属于[X]类函数，记作[H∈X]，如果：[H（t，t）=0，t≥t0;H（t，s）gt;0，tgt;s≥t0，]并且[H]在[D]上关于[t]和[s]有连续偏导数．

定义5 设[E={（t，s，r）|t≥s≥r≥t0}]，称函数[Φ（t，s，r）∈C（E，R）]属于[Y]类函数，记作[Φ∈Y]，如果：[Φ（t，t，r）=Φ（t，r，r）=0， t≥r≥t0;Φ（t，s，r）gt;0，tgt;sgt;r≥t0，]并且[Φ]在[E]上关于[s]有连续偏导数．

设[Φ∈Y]，[g（t）∈C（[t0，∞），R）]，定义算子[T[∗;r，t]]如下

[T[g;r，t]=rtΦ（t，s，r）g（s）ds，（t，s，r）∈E]， （3）

函数[φ（t，s，r）]定义为

[∂Φ（t，s，r）∂s=φ（t，s，r）Φ（t，s，r）]． （4）

注1 可以验证算子[T[∗;r，t]]为线性算子，并且满足

[T[g′;r，t]=-T[gφ;r，t]，g（t）∈C1（[t0，∞），R）] （5）

注2 易知对任意[H1，H2∈X]，有[H1（t，s）H2（s，r）∈Y.]

引理1[19] 设[y（t）∈Cn（[t0，∞），R）]为常号，在[[t0，∞）]上[ynt≠0]且满足[yntyt≤0]，则

（i）存在[ty≥t0]使得[yit] 在[[ty，∞）]上常号，[i=1，2，…，n-1]．

（ii）存在[l∈0，1，2，…，n-1，n+l] 为奇数，使得

[yitgt;0]，[t≥t1，i=0，1，2，…，l]；

[-1i+ℓyitgt;0]，[t≥t1，i=l+1，…，n.]

引理2[20] 设[yt]满足引理1的条件，且[yn-1tynt≤0，t≥ty.]则对每一[θ∈0，1，]存在常数Mgt;0使得

[x′θt≥Mtn-2xn-1t，t≥ty.]

2 振动结果

定理1 若微分不等式

[W′（t）+b（t）W（t）+λQ（t）+λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）≤0，t≥t0]， （6）

没有最终正解，其中[λ=1-P，N]是某一正数，则边界问题（1）、（2）的每个解在G内振动．

证明 假设边界问题（1）、（2）有一个非振动解[{u1（x，t），u2（x，t），…，um（x，t）}]．不妨设当[t≥t0gt;0]时，[|ui（x，t）|gt;0，]令[δi]=sgn[ui（x，t）]，[Zi（x，t）]=[δi][ui（x，t）]，则[Zi（x，t）]＞0，[（x，t）∈Ω×[t0，∞）]，由（H1）、 （H5）知存在[t1≥t0]，使得[Zi（x，t）gt;0]，[Zi（x，ρk（t））gt;0， Zi[x，g（t，ξ）]gt;0， Zj[x，r（t，η）]gt;0， （x，t）∈Ω×[t1，∞），][i，j=1，…，m]，[k=1，…，s.]对方程（1）两边同时乘以[δi]且关于[x]在Ω上积分有

[∂n∂tnΩδiui（x，t）dx+αβp（t，ξ）Ωδiui[x，g（t，ξ）]dxdτ（ξ）+b（t）∂n-1∂tn-1Ωδiui（x，t）dx+αβp（t，ξ）Ωδiui[x，g（t，ξ）]dxdτ（ξ）+j=1mcdqij（x，t，η）Ωδiuj[x，r（t，η）]dxdμ（η）=ai（t）Ωδihi（ui）Δui（x，t）dx+k=1saik（t）Ωδihik（ui（x，ρk（t）））Δui（x，ρk（t））dx，" i=1，2，…，m.]

从而有

[∂n∂tnΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx+b（t）∂n-1∂tn-1ΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx+]

[j=1mδjδiΩcdqij（x，t，η）Zj[x，r（t，η）]dμ（η）dx=ai（t）Ωhi（ui）ΔZi（x，t）dx+]

[k=1saik（t）Ωhik（ui（x，ρk（t）））ΔZi（x，ρk（t））dx，" i=1，2，…，m.] （7）

又

[Ωcdqij（x，t，η）Zj[x，r（t，η）]dμ（η）dx=cdqij（x，t，η）ΩZj[x，r（t，η）]dxdμ（η）]， （8）

利用格林公式，条件（2）和（H6），得

[Ωhi（ui）ΔZi（x，t）dx=∂Ωhi（ui）∂∂νZi（x，t）dS-Ω∇hi（ui）∇Zi（x，t）dx=-∂Ωhi（ui）gi（x，t）uidS-Ωδih′i（ui）|∇ui（x，t）|2dx≤0，] （9）

[Ωhik（ui（x，ρk（t）））ΔZi（x，ρk（t））dx≤0]， （10）

其中[dS]是在[∂Ω]上的面积分元．

于是由式（7）-（10），结合条件（H3）和（H5）得

[∂n∂tnΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx+b（t）∂n-1∂tn-1ΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx≤-cdqii（t，η）ΩZj[x，r（t，η）]dxdμ（η）+j=1，j≠imcdqij（t，η）ΩZj[x，r（t，η）]dxdμ（η）.] （11）

[Vi（t）=ΩZi（x，t）dx，t≥t1，i=1，2，…，m]，由式（11）得

[Vi（t）+αβp（t，ξ）Vi[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n）+b（t）Vi（t）+αβp（t，ξ）Vi[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n-1）+cdqii（t，η）Vi[r（t，η）]dμ（η）-j=1，j≠imcdqij（t，η）Vj[r（t，η）]dμ（η）≤0，] （12）

令[V（t）=i=1mVi（t）， t≥t1，]则[V（t）gt;0， t≥t1，]于是上式垂直相加，并利用（H3）得

[V（t）+αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n）+b（t）V（t）+αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n-1）+cdq（t，η）V[r（t，η）]dμ（η）≤0，" t≥t1.] （13）

令

[y（t）=V（t）+αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）]， （14）

则[y（t）≥V（t）gt;0]，且有

[y（n）（t）+b（t）y（n-1）（t）≤-cdq（t，η）V[r（t，η）]dμ（η）≤0，" t≥t1] （15）

所以，[[exp（t0tb（s）ds）y（n-1）（t）]′≤0]，从而[exp（t0tb（s）ds）y（n-1）（t）]是单调减少的，且最终定号．我们断言[y（n-1）（t）gt;0]，[t≥t1.]事实上，如果一个[Tgt;t1]，使得[y（n-1）（T）lt;0]．于是有

[y（n-1）（t）≤exp（t0Tb（s）ds）y（n-1）（T）exp（t0tb（s）ds），" " " t≥T，]

积分得

[y（n-2）（t）-y（n-2）（T）≤exp（t0Tb（s）ds）y（n-1）（T）Ttexp（t0vb（s）ds）dv，" " " t≥T，]

由（H7）有[limt→∞y（n-2）（t）=-∞]，这表明[y（t）]是最终负的．这与[y（t）gt;0]是矛盾的．

进而，由引理1知，存在[t2≥t1]，使得[y′（t）gt;0]，[t≥t2.]再由（14）有

[V（t）=y（t）-αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）≥y（t）-αβp（t，ξ）y[g（t，ξ）]dτ（ξ）≥y（t）-αβp（t，ξ）y（t）dτ（ξ）=（1-P（t））y（t）≥λy（t），" "t≥t2.] （16）

联合（15）和（16）得

[y（n）（t）+b（t）y（n-1）（t）≤-λQ（t）y[r（t，c）] ，" t≥t2]， （17）

令

[W（t）=y（n-1）（t）y[λr（t，c）]，" " t≥t2]， （18）

则[W（t）≥0， t≥t2]．因[y（t）]递增和（H4），于是存在[t3≥t2]，使得[y[r（t，c）]gt;y[λr（t，c）]gt;0， t≥t3].又因[r（t，c）≤t]和[r′（t，c）gt;0]，因而由引理2得，存在[Ngt;0]及[t4≥t3]，使得

[y′[λr（t，c）]≥Nrn-2（t，c）y（n-1）[r（t，c）]≥Nrn-2（t，c）y（n-1）（t）， t≥t4.] （19）

于是，由（17）、（18）和（19），得

[W′（t）=y（n）（t）y[λr（t，c）]-λr′（t，c）y（n-1）（t）y′[λr（t，c）]y2[λr（t，c）]≤-b（t）W（t）-λQ（t）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t），t≥t4，]

即

[W′（t）+b（t）W（t）+λQ（t）+λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）≤0，" t≥t4]， （20）

表明[W（t）]为（6）的某一最终正解，矛盾．证毕．

定理2 若[∀r≥t0，∃Φ∈Y，]使得

[limsupt→∞TλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，tgt;0]， （21）

其中算子[T]和函数[φ（t，s，r）]各由式（3）和（4）定义，则边界问题（1）、（2）的每个解在G内振动．

证明 假设不等式（6）存在最终正解[W（t）]，即存在[t1≥t0]，使得[W（t）gt;0，t≥t1]．由（6）有

[λQ（t）≤-W′（t）-b（t）W（t）-λNgn-2（t，a）W2（t），t≥t1]， （22）

应用算子[T[∗;r，t]（t≥r≥t1）]于式（22），并由（5）可得

[T[λQ（t）;r，t]≤T[-W（t）-b（t）W（t）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）;r，t]≤T[W（t）φ（t，s，r）-b（t）W（t）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）;r，t]=T（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W（t）-φ（t，s，r）-b（t）2λNrn-2（t，c）r′（t，c）2;r，t≤T（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，t ，]

于是[∀t≥r≥t1]，有

[TλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，t≤0]， （23）

取上极限，得

[limsupt→∞TλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，t≤0]，

这与（21）矛盾．证毕．

若取[Φ（t，s，r）=H1（t，s）H2（s，r）]，其中[H1，H2∈X]，由定理1有

定理3 若对任意[r≥t0]，存在[H1，H2∈X]，使得

[limsupt→∞rtH1（t，s）H2（s，r）λQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）-h1（t，s）H1（t，s）+h2（s，r）H2（s，r）2dsgt;0] ，（24）

其中

[∂H1（t，s）∂s=-h1（t，s）H1（t，s）]，[∂H2（s，r）∂s=-h2（s，r）H2（s，r）]，

[h1，h2]在[D]上局部可积，则边界问题（1）、（2）的每个解在G内振动．

若取[Φ（t，s，r）=ρ（s）（t-s）α（s-r）β]，其中[ρ（s）∈C1（[t0，∞），R+），α，βgt;1]是常数．则定理1成为下面定理

定理4 若对任意[r≥t0]，存在[ρ（s）∈C1（[t0，∞），R+），α，βgt;1]是常数，使得

[limsupt→∞rtρ（s）（t-s）α（s-r）βλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）βt-（α+β）s+αr（t-s）（s-r）2dsgt;0]，

则边界问题（1）、（2）的每个解在G内振动．

注3 当[b（t）=0]时，方程（1）就是文献［17］所研究的方程，因而本文的结论推广和包含了文献［18］的结果．

注4 利用本文的思想方法，可以考虑Dirichlet边界条件

[u（x，t）=0，（x，t）∈∂Ω×R+]， （25）

不难得到边界问题（1）、（25）的振动性定理．

3 结 论

本文讨论一类带分布时滞和阻尼项的偶阶非线性中立型广义弹性杆方程组在Robin边值条件下解的振动性问题，通过引入一类新型函数[Φ（t，s，r）]，得到了该弹性杆方程组的任意解振动的充分条件．这反映出弹性杆组在这种情况下的振动状态——它始终发生振动．

参考文献：

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Oscillation Analysis of Even Order Nonlinear Neutral""Generalized Elastic Rod Equation Systems with"Distributed Delays and Damping Terms

LIN Wen-xian

（College of Mathematics and Statistics， Hanshan Normal University， Chaozhou， Guangdong， 521041）

Abstract：This study discusses the oscillation analysis of a class of nonlinear generalized elastic rod systems. A new type of function is introduced， and the generalized Riccati method is employed to derive sufficient conditions for the oscillation solutions of the generalized elastic rod system under Robin boundary conditions， without the need for the eigenvalue theorem. This work extends the conclusions of related literature.

Key words：generalized elastic rod equation systems; distributed delays; oscillation; neutral

责任编辑 朱本华