画简图解三角函数性质题

摘 要：数形结合是解决数学问题常用的数学思想方法，文章通过优化课本中利用关键点画三角函数简图的方法，快速画出三角函数的图象，利用图象解与三角函数相关的题目.

关键词：图象；三角函数；性质

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0068-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：梁郁艺（1983.1—），男，广东省茂名人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

三角函数图象的性质是高考的常考内容.对于y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）图象性质的题目，常规的解法是通过ωx+φ整体代换，利用y=sinx，y=cosx，y=tanx相关性质来解题［1］.下面谈谈另一个思路，直接画出函数简图，借助简图来解题，直观、简便、操作性强.

1 优化找出关键点的方法、快速画简图

运用图象法解三角函数性质相关的题目，需要快速画出图象，如果画图麻烦，则效率不高.课本中介绍的画简图方法是利用ωx+φ等于y=sinx，y=cosx，y=tanx相应关键点（最高点、最低点、对称中心）的横坐标，通过解方程得到y=Asin（ωx+φ），

y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的关键点的横坐标来画出图象.下面优化一下找出关键点横坐标的方法，快速画出简图.

1.1 画函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）简图方法

画y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的简图步骤如下：第一步，令ωx+φ=0，得x=-φω

；第二步，求周期T，然后求T4；第三步，把-φω和T4化分母相同；第四步，由-φω不断加或减T4，得到-φω右侧或左侧的关键点的横坐标，从而找出一些关键点，然后用光滑曲线连接得到图象简图.

1.2 画函数y=Atan（ωx+φ）简图方法

类似上面画函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）简图方法中找关键点的方法，画函数y=Atan（ωx+φ）的图象的关键点是对称中心.可先确定一个对称中心，再把这个对称中心的横坐标与半个周期T2化分母相同，快速由一个对称中心找出相邻的其他对称中心画出简图.

2 画简图解三角函数性质题范例

2.1 直接画简图解题

例1 （2018年高考全国Ⅲ卷）函数f（x）=cos（3x+π6）在［0，π］的零点个数为．

解析 由3x+π6=0，得x=-π18，最小正周期T=2π3，则T4=π6=3π18.由-π18向右不断加上3π18可确定-π18右侧的关键点，从而画出简图如图1.由图象可知函数在［0，π］的零点个数为3个.

2.2 题目给出函数图象求函数的性质

例2 （2015年高考真题）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图2所示，则f（x）的单调递减区间为（" ）.

A．（kπ-14，kπ+34）（k∈Z）

B．（2kπ-14，2kπ+34）（k∈Z）

C．（k-14，k+34）（k∈Z）

D．（2k-14，2k+34）（k∈Z）

解析 由题可知T2=54-14=1，所以T=2，

T4=12.题目的图中有一个关键点（14，0），这个关键点左侧最高点横坐标是14-12=-14，这个关键点右侧最低点横坐标是14+12=34.所以f（x）在原点附近的一个单调递减区间是（-14，34），f（x）的单调递减区间为（2k-14，2k+34）（k∈Z）.

2.3 已知条件有函数的一个关键点求函数的性质

例3 （2022年高考真题）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0lt;φlt;π）的图象关于点（2π3，0）中心对称，则（" ）.

A．f（x）在区间（0，5π12）单调递减

B．f（x）在区间（-π12，11π12）有两个极值点

C．直线x=7π6是曲线y=f（x）的对称轴

D.直线y=32-x是曲线y=f（x）的一条切线

解析 题目有一个关键点（2π3，0），T=2π2=π，即T4=π4.化分母相同，2π3=8π12，T4=π4=3π12，关键点（2π3，0）可能是图象上升时与x轴交点，也可能是图象下降时与x轴交点.所以要分两种情况讨论.

如果关键点（2π3，0）是图象上升时与x轴交点，用8π12不断加上3π12可得到2π3右边的关键点，用8π12不断减去3π12可得到2π3左边的关键点，画出简图如图3.根据2x+φ=0，得x=-φ2，图象是符合0lt;φlt;π的.由图象可知答案A是正确的，答案B，C是不正确的.此时-φ2=-4π12，即φ=2π3，f（x）=sin（2x+2π3）.由导数知识可解得答案D是正确的.图3 例3解析图

如果关键点（2π3，0）是图象下降时与x轴交点，画出简图如图4.根据2x+φ=0，得x=-φ2，图象是不符合0lt;φlt;π的，所以不符合题意.

2.4 已知区间的关键点的个数求参数ω范围

例4 （2022年高考真题）设函数f（x）=

sin（ωx+π3）（ωgt;0）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是.

解析 由ωx+π3=0，得x=-π3ω，最小正周期T=2πω，则T4=π2ω.化分母相同，得x=-π3ω=-2π6ω，T4=π2ω=3π6ω.用-2π6ω不断加上3π6ω可得到-2π6ω右边的关键点，画简图如图5.因为在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，所以由图可知13π6ωlt;π≤16π6ω，即136lt;ω≤83，所以答案为C.

2.5 已知某区间上的单调性求参数ω范围

例5 （2012年高考真题）已知ωgt;0，函数f（x）=

sin（ωx+π4）在（π2，π）上单调递减，则ω的取值范围是.

解析 由ωx+π4=0得x=-π4ω，最小正周期T=2πω，T4=π2ω.化分母相同，T4=π2ω=2π4ω.用-π4ω不断加上2π4ω可得到-π4ω右边的关键点，画简图如图6.因为函数f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）上单调递减，所以T2≥π-π2=π2，所以π4ω≤π2lt;π≤5π4ω.解得12≤ω≤54.图6 例5解析图

注意 （π2，π）不能在原点右边第二个及之后的单调递减区间内，因为T2≥π2，如果在原点右边第二个及之后的单调递减区间内，这时（0，π2）含超过半个周期图象，与T2≥π2矛盾.

2.6 ω和φ都是参数求参数ω最值

例6 （2016年高考真题）已知函数f（x）=

sin（ωx+φ）（ωgt;0，|φ|≤π2），x=-π4为f（x）的零点，x=π4为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）单调，则ω的最大值为.

解析 本题中ω和φ都是参数，不需画图，直接利用题目给的关键点来确定其他的关键点，依据题意建立不等式组求解.最小正周期T=2πω，T2=πω，T4=π2ω.由-π4加上T4得到右侧相邻的那条对称轴，然后分别加上整数个T2可得到其它的对称轴，其中（π18，5π36）是夹在两条相邻的对称轴之间，所以

-π4+T4+k·T2=-π4+π2ω+k·πω=π4，k∈Z，-π4+T4+m·T2=-π4+π2ω+m·πω≤π18，m∈Z，-π4+T4+（m+1）·T2=-π4+π2ω+"""" （m+1）·πω≥5π36，m∈Z，T2≥5π36-π18=π12，

化简，得ω=2k+1，k∈Z，ω≥18（2m+1）11，m∈Z，ω≤9（2m+3）7，m∈Z，ω≤12.

当m=2时，9011≤ω≤9；当m=3时，12611≤ω≤817，此范围不含有奇数的ω值.

所以ω=9.

2.7 函数y=Atan（ωx+φ）性质习题范例

例7 （多选题）已知函数f（x）=tan（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π2），其图象的两个相邻的对称中心间的距离为π4，且f（0）=33，则下列说法正确的是（" ）.

A．函数f（x）的最小正周期为π4

B．函数f（x）的定义域x|x≠π12+kπ4，k∈N

C．函数f（x）的图象的对称中心为（kπ4-π12，0）（k∈Z）

D．函数f（x）的单调递增区间为（kπ2-π3，kπ2+π6）（k∈Z）

解析 由f（0）=33，0lt;φlt;π2，得φ=π6，由图象的两个相邻的对称中心间的距离为π4，得T2=π4，T=π2=πω，所以ω=2.

所以f（x）=tan（2x+π6）.

由2x+π6=0，得x=-π12，化分母相同，得T2=π4=3π12.用-π12不断加或减3π12可得到-π12右侧或左侧的对称中心横坐标，画简图如图7，由图可知，正确的选项是CD.

点评 画出函数的图象，能直观、快捷找到函数的相应性质的结论.3 结束语数形结合是一种重要的数学思想方法.通过上面几道高考题的解题过程，我们可以看到，画函数的简图来解三角函数性质的题目，无论是基础题还是压轴题，都能依据图象直观、快速地正确解答，还能简便运算过程，相比常规方法在很大程度上降低了难度.

参考文献：

［1］张建文.三角函数中求ω的常见类型及解题策略[J].数理化解题研究，2024（19）：38-41.

［责任编辑：李 璟］