理解模型意识 准确把握教材

【摘 要】模型意识是小学阶段学生核心素养主要表现之一，模型意识的培养可提升小学生运用数学的语言表达现实世界的能力。根据学生认知特点和思维水平，模型意识可以划分为“感悟模型、使用数学模型表示现实情境、依托数学建模解决现实问题”三个维度。理解模型意识，有助于教师从整体、结构化的视角解读教材中的相关内容，从而全面、系统地设计学习任务，体验从生活现象抽象到数学模型的过程，感悟数学与现实世界的联系。

【关键词】模型意识；教材；加法模型；现实情境

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“2022年版课标”）明确指出：“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。”［1］10数学模型作为解决“个例问题”到“一类问题”的数学关系结构，需要遵循“感悟模型—创建模型—应用模型”的认知路径。据此，模型意识可划分为以下三个维度：第一，感悟模型。学生需要在“个例问题” 解决的过程中感悟模型的结构特征，知道解决同类问题时，可归结于某一个典型模型（样例）［2］。第二，使用数学模型表示现实情境，即能识别生活中数学模型应用场景，进行交流、解释和解决问题。第三，依托数学建模解决现实问题。学生能够理解模型的各部分关系，根据具体情境选择或调整基础模型，对生活现象进行分析和研究。

理解模型意识，有助于教师从整体、结构化的视角解读教材中的相关内容。以北师大第五版教材一年级上册“5以内数加与减”单元为例，其学业要求为“能描述四则运算的含义，知道减法是加法的逆运算……”［1］19基于模型意识与学业要求，教师可围绕以下三个方面的问题展开思考：（1）教材如何借由解决问题的过程，帮助学生初步感知加、减法模型？（2）在哪些情境下，引导学生使用加法模型或减法模型进行情境识别，并进行交流、解释？（3）如何依托数学模型解决实际问题，既加深学生对加、减法意义的理解，又让他们体会两者之间的内在联系？以下将结合教材内容进行具体论述。

一、感悟模型

数学模型的学习始于对“个例问题”的探讨。因此，在选择“个例问题”时，应侧重于典型的、常规的素材帮助学生理解信息，提出问题，并在多元表征中构建结构，知道在解决同类问题时可转化为某一典型模型。以加法模型为例（如图1），教材结合“一共有多少”这一现实问题，按照“识别—表征—抽象—概括”［3］四个层次，引导学生初步感知加法模型。

（一）识别

作为学习加法的起点，教材精心设计了两个贴近学生生活的现实情境。通过引导学生说一说这些情境内容，帮助学生识别信息，提出问题。情境1通过动态展示女孩手中的铅笔数量变化，即左边图中的女孩一只手里有3支铅笔，另一只手里有2支铅笔，右边图中的女孩将左右手中的笔合起来，引导学生体会加法“合并”的含义；情境2则通过熊猫的不同活动，即3只熊猫在吃竹子，2只熊猫在玩球，让学生通过画符号操作或头脑中操作感悟“合并”的含义。这些情境原型均贴近学生的日常生活，因此，当学生被问及图中有哪些信息时，他们自然能结合生活经验，联想到“一共有多少”的问题。

（二）表征

多元表征是对数学结构和关系的多维度描述，表征的过程既是思考的过程，也是建模的过程。从教材中人物角色的生动演绎和对话中，可以看到教材通过情境1中的“实物操作”和情境2中的“画图”来表征问题情境和信息，使学生直观感受到“两部分合起来”即为求“一共是多少”。此外，在教学中教师应鼓励学生说一说表征过程中数3、2、5在特定情境中的含义，这有助于他们建立信息和问题之间的联系。因此，借助实物操作、画图和语言描述等方式表征问题情境和信息，能很好地促进学生对信息的整合与关联，从而构建数学关系。

（三）抽象

在理解问题和信息的关系结构的基础上，学生需运用数学形式表达，抽象出数学模型并予以合理解释。鉴于这是学生初次接触运算，教材直接呈现了加法算式，引导学生将算式中的每一部分与情境图相对应，说一说每一部分所表示的现实意义，并介绍加号、等号和算式的读法等基础知识。随后，鼓励学生将所学知识回归现实情境，进行检验和解释。

（四）概括

在解决一系列“一共有多少”问题的过程中，学生经历了识别情境、进行表征与抽象等思维活动，构建起加法关系。这一过程使学生深刻认识到，当面对需要将两部分合并起来的实际问题时，可以用加法来进行计算，从而初步感知加法模型的本质与应用。

二、使用数学模型表示现实情境

实践是深化理解概念的关键环节，学生需在给定情境中使用数学模型识别问题，并将其整合到已有的认知结构中，使认知结构更完善。教材根据学生的认知特点和认知水平，有层次地编写了一系列结构相同但情境不同的加法问题，如“合并型、添加型、原来型、比较型”等加法问题（如表1）。

每种情境承载着不同的教育意义。“合并型”问题，尽管两部分并未实际合并，学生需基于“一共有多少”的问题，在心理上或概念上将图中的“左右、上下、前后”等两部分合并起来。“添加型”问题，则通过情境中的添加或移入等操作，使学生直观理解起始量和变化量的合并。“原来型”问题，则需学生结合情境，发现结果量与变化量合起来即为起始量。“比较型”问题，需引导学生结合情境理解较小量和较大量，认识到较小量与相差量合起来即为较大量。

这些多样化的素材和类型，给师生共建和抽象数学模型提供了帮助，激发学生自主运用加法知识，深化对加法意义的理解，让学生深刻体会到加法模型在解决生活中一类问题的广泛性与普适性。在解决问题的过程中，学生充分经历“意义理解—识别表征—抽象概括”的思维过程，感悟到数学作为认识、理解、表达现实世界的强大工具和语言，深入领会建模的价值与意义。

三、依托数学建模解决现实问题

数学模型的建构并非仅停留于抽象和结构化的提炼层面，它还需融入应用模型的解释、解答等多维度的实践，以便更深入地探索基本模型与变式模型之间的内在关系，从而深化对基本模型的理解，感受数学模型的应用价值。［4］ 因此，在教材编排上，自加、减法的初步引入起，就要有意识地通过“一图两式”和“一图三式”的设计，让学生在具体情境中深化对加、减法意义的理解，体会加、减法之间的关系，为其后续深入学习加法模型奠定坚实的基础。

（一）“一图两式”启迪对加减关系的感悟

在设计“得数为0或算式中有0的加、减法”的例题中，教材呈现了在同一情境下，利用加、减法写出“一图两式”的例题（如图2）。通过计数器上的直观演示，学生见证了从5个珠子中拨走1个珠子，变成一边4个珠子和一边1个珠子的过程。学生可以根据“一共5个珠子，分走1个，还剩4个”的拨珠子过程写出减法算式“5-1=4”；同时，通过观察发现，将“左边的4个珠子和右边的1个珠子合起来即原来的5颗珠子”，从而得出对应的加法算式“4+1=5”。通过计数器上的拨珠子活动，学生不仅直观感知到“加法是将两部分合并”，而“减法是从总的里面去掉一部分”，还加深了对加、减法运算意义的理解，初步建立了总量与分量之间的关联意识，首次从相互依存的角度把握了加、减法的内在联系，感受加中有减、减中有加，增强了模型意识。

（二）“一图三式”启迪对模型价值的感悟

在“10的加减法”教学中，学生首次接触到“一图三式”的挑战（如图3）。他们需从图3中获得“左边有8只小鸡，右边有2只小鸡”的信息，并据此信息建立加法或减法关系，从而生成两个加法算式和两个减法算式。在此过程中，学生首先要根据图中的信息识别这是加法的合并型情境，其次利用加法意义将左右两边小鸡只数合并，得到“8+2=10”或“2+8=10”两个加法算式。通过直观体验，学生深刻认识到，无论是8+2还是2+8，其结果都是10只小鸡，都是由8和2这两部分合并成的，只是观察的角度不同，没有实质的差别。此过程渗透了加法交换律，深化了对加法意义的理解。当学生理解8和2都包含于10之中时，他们便能根据事件发生顺序的互逆性，以减法形式来表征，即将10作为一个整体，分为8和2两部分。学生需将其中的一个部分看作未知，如将左边的8只小鸡看作是未知，从而构建减法问题结构“共有10只小鸡，右边有2只小鸡，左边有几只小鸡？”并写出算式“10-2=8”。同理，可得出另一个减法算式“10-8=2”。

在结合情境解释加、减法运算及其结果的实际意义时，学生体会到加、减法之间的紧密联系。如图4所示，8和2两个部分合并成整体10，同时从10这个整体中，去掉8得到2，或去掉2得到8。在学习过程中，教师可引导学生通过画一画三个数的关系图，深入理解3个量之间的关系，体会到只要将其中的任意一个量作为未知，即可产生三种不同的问题结构，从而整体把握问题结构，形成结构化认识。

同理，表1中的每种加法问题情境，都可因未知量的不同而衍生出3个不同的问题结构（包含加法和减法运算），这有助于学生依据重要信息构建思维结构，提升发现和提出问题、分析和解决问题的能力。学生逐渐认识到，问题的分类不再局限于加法和减法，而应依据问题结构和情境来描述。在解决问题时，学生意识到加入的情境不一定就是加法，而分离或拿走的情境也不一定意味着减法［5］。通过建立总量与分量的关系，学生还能理解减法实为求解“分量”的问题，从而将减法问题纳入“加法模型”中，丰富对“模型”的认识，初步感悟“总量=分量+分量”模型的价值。

总之，理解模型意识的内涵，有助于教师深入解读教材中与模型意识相关的例题和练习，从而全面、系统地设计学习任务。让学生在解决问题的过程中，体验从生活现象抽象到数学模型的过程，感悟数学与现实世界的联系，逐步形成模型意识。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022 年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］方齐珍.模型意识：内涵、目标与教学要领［J］.福建教育，2024（6）：40-44.

［3］章勤琼，陈肖颖.小学数学模型意识的内涵、表现与教学：兼论核心素养的表现性目标［J］.课程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［4］费岭峰.发展小学生模型意识的内涵及其教学思考［J］.教学月刊·小学版（数学），2024（1/2）：15-18.

［5］范德沃尔，卡普，贝-威廉姆斯.美国中小学数学教师实践手册：第10版［M］.张晶，侯慧颖，施银燕，等译.上海：华东师范大学出版社，2023.