模型意识的内涵、维度与教学策略

如何在教学中发展学生的模型意识

在数学的发展历程中，抽象、推理和模型构成了其三大基本思想。其中，模型思想的构建是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“模型思想”细分为小学阶段的“模型意识”和初中阶段的“模型观念”。因此，指向模型意识的教学，将成为小学数学教师落实课程标准的重要途径。章勤琼教授与他的团队长期致力于素养导向的单元整体教学理论与实践的研究。本期特刊发他们的部分研究成果，探讨如何在教学中发展学生的模型意识，为广大教师落实课程标准要求，提升学生核心素养提供有价值的教学参考。

【摘 要】数学模型是数学应用的基本方式，模型意识的培养有助于学生体会和理解数学与现实世界的联系，增强数学的应用意识，为现实生活中的问题提供有效的解决方案。根据小学生的认知特点和思维水平，模型意识可以划分为感悟模型、使用数学模型表示现实情境、依托数学建模解决现实问题三个维度。教学中，教师需要深度挖掘教材，明确模型教学内容；凸显学生体验，深化模型意识培养；优化评价方式，关注学生建模过程。

【关键词】数学素养；模型意识；数学模型；建模过程

模型意识是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）中数学核心素养的主要表现之一。模型意识的培养，有助于学生初步感知与领悟数学模型的普适性，获得多层次的数学思想，提升数学表达和社会沟通能力［1］。同时，模型意识能增强学生的数学应用意识，有助于他们更好地体会和理解数学与现实世界的联系。深入探究模型意识的内涵与维度，对教师精准把握其本质，科学制定培养策略具有重要意义。

一、模型意识的内涵解读

数学模型作为概念框架系统，旨在通过形式化的数学符号和语言，构建、解释和描述选定情境。在数学建模过程中，学生能够识别复杂现象的内在数学结构，运用数学方式与现实世界交流。在小学数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式以及各种图表、图形，都属于数学模型。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》首次将“发展学生的模型思想”列为数学课程的十大核心概念之一。模型思想指“针对问题构建相应的数学模型，再通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想”［2］。模型思想的建立是“学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。它要求学生通过简化、抽象和创建模型，运用数学概念、原理和工具，将现实问题转化为数学问题，并借助数学模型提供解决问题的方案。2022年版课标将“模型思想”细分为小学阶段的“模型意识”和初中阶段的“模型观念”。小学阶段的“模型意识”聚焦于“对数学模型普适性的初步感悟”。在数学教育中，“意识”一词通常涉及对数学概念、原理及方法的理解，对数学问题的敏感性和洞察力，以及运用数学模型解决一类问题的准备状态。模型意识指个体能够有意识地运用数学的概念、原理和思维方法，用数学语言对实际问题进行概括性表达，并以数学建模为基本途径理解、描述以及解决现实世界中的一类问题。［3-4］其内涵包括以下三个方面：第一，模型的感性认识，即认识到数学模型是对现实情境简化的本质的描述，具备解决一类问题的能力；第二，模型的识别与应用，即在特定情境下，能够迅速识别数学模型的应用场景，并主动采用数学的方式进行描述、解释和解决问题；第三，模型的创建，即将模型意识作为认知工具，经历建模的过程，应用数学对现实世界的现象进行表达、分析、预测及深入探究。

模型思想与模型意识紧密相连，通过比较两版课标的要求，二者均强调增强数学的应用意识。然而，从本质而言，模型思想侧重于运用数学的概念、原理和思维方法讲述现实世界中的故事，体现模型素养的整体要求。而模型意识则强调数学思考，更加突出小学生的认知特点和思维水平，是小学阶段模型思想渗透的阶段性、整体性表述，激励学生主动运用模型思想来解决现实问题。

二、模型意识的维度分析

模型意识作为小学阶段重要的核心素养，主要表现为“知道数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径；能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释”。结合模型意识内涵，依据“感悟模型—创建模型—应用模型”这一认知路径，模型意识可划分为三个维度：“感悟模型”“使用数学模型表示现实情境”以及“依托数学建模解决现实问题”。各维度释义及特征描述如表1所示。

以北师大第五版教材一年级上册“5以内数加与减”单元为例，该单元遵循“问题情境—建立模型—解释与应用”的叙述方式，结合“一共有多少？”“还剩下多少？”等现实情境引入加减法概念，引导学生初步建立加法和减法模型，并基于这些模型探索多样化的计算策略，解决实际问题。模型意识在该单元的具体表现如表2所示。

三、模型意识的教学策略

（一）深度挖掘教材，明确模型教学内容

教材是模型意识培养的重要载体，因此对教学内容的深入理解和把握对于教师制定全面、系统的培养策略至关重要。北师大第五版教材中，数学模型相关内容在各个年级均有所体现，且分布均衡，体现了模型意识培养的整体性、阶段性和一致性。通过对各分册教材中数学模型内容的统计与分析（主要内容如表3），可以明确地认识到数学模型教学内容在不同年级和领域的侧重点。

总体而言，“数与代数”领域是形成模型意识的重要载体，其中以加法模型和乘法模型尤为显著，学生需在具体情境中运用数量关系解决问题，感悟加法模型和乘法模型的意义。此外，该领域还包括方程模型和函数模型，学生从具体情境中抽象出数学符号、经历用字母表示数、构建代数式及列方程等抽象过程，体会数学的抽象性。在“图形与几何”领域，学生通过对图形的认识与测量、图形的位置与运动的学习，借助数形结合的思想初步构建数学模型，进而形成空间观念和几何直观。在“统计与概率”领域，学生则需通过多样化的实例和数形结合，尝试理解数据的统计意义，如从现实问题出发，尝试“以一个数代表一组数”的表征方式，深入理解统计量的“代表”意义，并在这一过程中真正理解平均数是一个良好的代表量，从而在实践中体会用数学概念解决实际问题的路径。“综合与实践”领域则通过主题学习和项目式学习，拓宽学生对数学应用过程的认识。

教师应整体解读教材，深刻理解数学模型教学内容，把握模型意识培养目标的整体性与进阶性，明确教材中的数学概念、原理和方法，并自觉将模型意识的培养融入日常教学之中。同时，教师还需识别模型教学的要素，识别教材中与模型意识培养紧密相关的内容，依据不同的模型思想，设计建模任务或项目，引导学生在解决问题的过程中，运用数学知识构想、创建和使用数学模型。

（二）凸显学生体验，深化模型意识培养

1.关联现实世界，创设真实生活情境

精心创设“体验性真实”的生活情境，让学生经历解决实际问题的过程来发展模型意识。然而，在将现实情境数学化时，所需的数量关系和操作步骤往往超出了传统数学教学的范畴。与传统的问题解决相比，数学建模问题要求学生深入理解情境，自主构建和发展其独特的数学思想或概念体系，进而形成可推广、可重用的关系系统。这一过程往往伴随着复杂程序或概念工具的生成。因此，在教学中，教师应明确数学问题，利用有意义的情境来激发学生的建模意识，促使他们进行超越情境现实和日常经验的数学思考。通过创建情境的“现实模型”，学生能够从中抽象出数学问题，并以对他们个人而言有意义的方式进行数学化。

在教学“5以内数加与减”时，从第一个情境“一共有多少？”入手，通过“数铅笔”（如图1）和“数熊猫”（如图2）两个生动的场景，呈现动态的合并过程。这些场景作为学生学习加法的起点，是加法“移入”概念的原型。在教学过程中，教师应从多个角度提供加法背景，引导学生经历、体验“合起来”的实物演示过程，探究计算“一共几支铅笔？”或“一共几只熊猫？”的方法，从而全面理解“合并”的含义。

2.经历数学化过程，关注抽象和应用

数学模型的教学本质在于“‘数学化’，即通过建立数学与现实世界的双向联系，形成初步的模型意识”［5］。数学建模的理想化过程被描述为一个通过使用数学来解决实际问题的循环过程。为构建符合情境的现实模型，需深入理解现实背景，简化复杂问题，这一过程涉及多重假设的设立，识别关键要素的影响，创建有意义的表征。首先，为了创建数学模型，在现实模型中构建数学关系结构，经历分析、抽象和概括的过程，将其转化为数学模型，并获取相应的数学结果。接着，需对所得数学结果及整个建模过程进行解释和验证，评估模型的拟合性和适用性，获得科学的数学模型。最后，将数学模型返回现实情境，应用其创建的数学模型解决同类现实问题（如图3）。

整个过程学生必须经历两次数学化。第一次为抽象，即从现实情境中识别和分析变量，借助抽象和概括等方式将问题映射到熟悉的数量关系和数学运算，进而创建数学模型；第二次为应用，即通过迁移和拓展，将创建的数学模型推广到解决一类问题的实践中。

在“一共有多少？”的学习中，学生能够借助直观操作（如画图、计数）得到铅笔和熊猫的总数，但在数学表达上却显得力不从心。教学中，教师可引导学生将算式中的每一部分与情境图相对应，解释其表达的意义，在“数铅笔”的过程中引出加法问题并予以解答，深刻理解加法的本质意义，明确加法计算的使用情境，进而建立起加法模型。教材还呈现了试一试“停车”问题（如图4），进一步拉近了加法与现实生活的距离，深化了学生对加法模型的理解，促使他们逐步学会运用加法模型解决现实生活中的问题。

3.拓展模型应用，感悟模型价值

迁移、拓展和重复运用创建的数学模型，乃是数学建模学习方法的核心活动，在此过程中，让学生感受数学模型的现实价值。［6］为在数学教学中培养学生的模型意识，教师应设计一系列与创建和应用模型相关的非常规问题情境。在这些情境中，学生将不断探索、验证和改进数学关系结构，最终形成能够应用于多种情境的数学模型，从而提升他们运用数学解决现实问题的能力。教学中，教师可引导学生找一找生活中的加法问题，用语言描述和解释，并提出解决方案，以此强化加法模型与现实生活的密切联系，加深学生对加法模型的理解与应用。

（三）优化评价方式，关注学生建模过程

2022年版课标明确倡导发挥评价的育人导向作用，倡导多样化的评价方式，以深入了解学生的学习过程与发展变化。传统教学评价的载体——测试和作业评价，在指向模型意识发展的教学评价中，需进一步聚焦于学生的建模表现与问题解决能力。这要求教师确立明确的评价标准，运用多元化的评价方式，构建有效的反馈机制，以全面评价学生的建模表现与模型意识的发展状况。

首先，确立明确的评价标准至关重要。依据2022年版课标中的学段目标和学业要求，模型意识的主要评价指标可确立为：（1）能够掌握现有模型的相关知识；（2）在特定情境中，能够全面执行数学建模过程的各个环节；（3）能够批判性地分析给定模型的适用性［7］；（4）能够运用已有模型解决一类问题。针对“5以内数加与减”的教学内容，模型意识的评价指标可具体确定为：（1）能够结合具体情境解释加、减法运算模型及其运算结果的实际意义；（2）能够运用算式、画图等方式，表示简单情境中的加法关系或减法关系，并解决简单问题；（3）能够解决与5以内数加、减法密切相关的简单实际问题。

其次，采用多样化的评价方式。学生模型意识的形成与发展要经历从感性到理性、从具体到抽象的过程。因此，教学评价应重视学生在建模过程中的实际表现，而非仅仅关注单一的测评结果。学生的课堂讨论、活动报告、书面作业等可以作为评价学生对数学模型的建构与使用，处理各种复杂信息时数学思维发展的重要反馈。观察学生在建模中的表现，分析学生的活动报告和书面作业，为评价学生当前的思维方式、数学建模和概念系统的发展提供依据，特别是在使用符号、识别变量、表征信息、创建关系以及解决问题等方面的发展。

参考文献：

［1］ENGLISH L D， WATTERS J J. Mathematical modelling in the early school years［J］. Mathematics education research journal， 2005， 16（3）：58-79.

［2］刘来福，黄海洋，曾文艺.数学模型与数学建模［M］.北京：北京师范大学出版社，1997.

［3］史宁中.漫谈数学的基本思想［J］.数学教育学报，2011，20（4）：8.

［4］章勤琼，陈肖颖.小学数学模型意识的内涵、表现与教学：兼论核心素养的表现性目标［J］.课程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［5］方齐珍.模型意识：内涵、目标与教学要领［J］.福建教育，2024（6）：40-44.

［6］ENGLISH L D. Mathematical modeling in the primary school： children’s construction of a consumer guide［J］. Educational studies in mathematics，2006， 63（3）：303-323.

［7］BLUM W， NISS M. Applied mathematical problem solving， modelling， applications， and links to other subjects—state， trends and issues in mathematics instruction［J］.Educational studies in mathematics，1991，22（1）：37-68.