基于“两个过程”合理性思考的生成课堂

1 教学内容的基本认识

“数系的扩充和复数的概念”是新教材高中数学人教A版2019必修第二册第七章复数第一节复数的概念的第一节课，具有基础性作用，复数的引入是数系的又一次扩充，在保持实数系的运算律的前提下，没有比复数系更大的数系，新教材中增加了“解一元二次方程”的内容，教学中可以非常自然地过渡到复数范围内实系数一元二次方程的求根过程，有助于理解引入复数的必要性．通过查找文献使学生体会到数系的扩充不仅是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要，从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类等，进而对本节课的知识掌握的更加牢固．

2019人教A版高中数学教材主编章建跃提出，在教学过程中，数学核心素养的渗透可以借助“两个过程”的合理性，即数学知识发生发展过程的合理性和学生思维过程的合理性．数学知识发生发展过程的合理性，即可以将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学知识的发展历程，体会数学的应用价值和文化内涵．本节课“数系的扩充和复数的概念”就是一个很好的契机，带领学生从数学史的视角领会数系扩充的完整过程．学生思维过程的合理性，即注重数学与现实的联系，注重与已有的知识相联系，通过层层递进的设问，引导学生积极参与思考，提高自身的数学素养．

2 教学方法的选8e75cdc6b166f227ee376b2be054b084dc03c0d84bed1913f20ea4f02b75c9a9择

学生在初中已经学习过从有理数扩充到实数的过程与方法，同时高中生对互联网比较熟悉，因此本节课可以利用学生已有的知识和经验，设计系列的数学思维活动，让学生分组合作，课前通过互联网或者图书馆书籍去了解数系扩充的相关数学史，类比从有理数扩充到实数的过程与方法，一起去解开数系的扩充的奥秘，同时小组长在课堂分享交流，让学生有参与感与收获感，让学生的思维从被动的“跟”到主动“寻”．但由于学生不太了解数系扩充的“规则”，而数系的扩充不只是数集的扩充，更包含它的运算律，在教学中，老师应当强调扩充后的数系与实数系中的运算协调一致，且保持运算律不变，体会数学的严谨性，让学生对复数的认识更加真实清晰，了解数系扩充的规则．

3 课堂设计

3.1 朝花夕拾，再现历史

课堂引入 请小组长结合组员一起收集的资料，来分享下数系扩充的过程．

小组 （1）古代计数的需要（如狩猎的个数），产生了自然数（图1）；（2）刻画相反意义（如欠债问题等），产生了整数（图2）；（3）测量和等分问题（如三户人家共同猎到一头猪等），产生了有理数（图3）；（4）解决度量正方体对角线（如直角边为1的等腰直角三角形斜边边长），产生了实数（图4，图5）．

教师总结 数系发展的动力一方面是生产、生活的需要，解决生活的实际问题，另一方面也是数学本身发展的需要，如负数解决了在整数集中不够减的矛盾，725510a6e5f075bbfcbdc064898c3eda109eebb7bc3cf5e832d90adc4258dd3d分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾，数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的矛盾，同时也保留了原有的运算．

其实数系的扩充也并非总是一帆风顺，如无理数的由来，公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯提出，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的认知相悖，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派在学术界的统治地位，于是希伯索斯被毕氏门徒残忍地投入海中淹死．希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的破绽，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派无视真理才是“无理”．人们为了纪念坚持真理，勇于献身的希伯索斯，就把不可通约的量取名“无理数”．

设计意图 让小组交流发言，加强团队合作意识、集思广益，开阔学生的视野，增强学生的自信心和语言表达能力，激发学习兴趣，同时也让学生了解到数系扩充的详细过程，既是生产、生活的需要，也是数学本身发展的需要，即数系的每次扩充的意义．数系发展的曲折性让学生感受古人的智慧和对科学的奉献精神，体会数学的理性精神．

教师可以提前引导学生去了解数的发展过程，例如提前查看教材第七章复数中提供的资料和书籍《虚数的故事》前2章，或是利用网络资料，打开学生的思维，再现知识生成的思维轨迹，因为本节课内容相对简单，课堂上可以让学生分享自己所了解的数的发展过程，激发他们的学习兴趣，让他们体会丰富多彩的数学文化和数学家丰富的想象力、创造力和不屈不挠、精益求精的精神．

4.3 优化课堂教学，尊重学生思维过程的合理性思考

新课标提出“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上”，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、自主探索、合作交流．本节课可以充分发挥学生学习的主体地位，课前指导学生分小组通过阅读书籍，利用网络资料获取信息，课堂分享数的发展过程，在后面的教学中，通过不断设问、启发式讲解、互动式讨论的授课方式，引导学生发现问题，并独立思考和研究问题，鼓励学生创造性地解决问题，同时教师对学生的自我学习过程也应给予必要的引导与帮助．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]王耀廷．数学史在高中数学统计与概率中的应用[J]．高考，2020，353（07）：180