基于STEM理念探究共点力的动态平衡问题

摘 要：应用正弦定理和矢量三角形法则的理论分析方法，结合GeoGebra软件的数值模拟与DIS数字化实验测定，对三力作用下的共点力动态平衡问题进行直观可视化解析，拓展了教师的教学方式与学生的学习方式，促进了高中物理与数学、信息技术等学科的相互融合。

关键词：动态平衡；学科融合；GeoGebra软件；DIS数字化

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）10-0081-3

收稿日期：2024-03-21

基金项目：安徽省省级研究生线上、线下混合示范课程项目（2022hhsfkc011）；安徽省省级双基示范课程项目（2020sjsj1171）； 江苏省普通高中“知行物理学科育人课程基地”。

作者简介：王鹏（1984-），男，中学高级教师，主要从事物理数字化实验教学与研究。

*通信作者：张季谦（1965-），男，教授，博士生导师，主要从事理论物理、物理学专业课程的教学研究。

共点力作用下的动态平衡问题是高中力学的重要组成部分，也是高考的重点［1-4］。通过控制部分力，使物体的运动状态缓慢地变化或保持匀速直线运动［5-6］。解析此类动态平衡问题时，数学解析、相似三角形、正交分解与三角形矢量合成等是常用的方法［7-10］。本文以2017年理综全国卷Ⅰ为例，取三个共点力作用下处于动态平衡状态的物体为研究对象，应用正弦定理与矢量三角形法则，结合GeoGebra软件的模拟值与DIS数字化实验的测定值，对这一高考重难点进行了有效解析。

1 基于数理方法解析共点力的动态平衡

1.1 真题呈现

如图1所示，一端固定的轻绳OM与MN的连接点处拴一重物，OM竖直且MN被外力拉直，夹角α>π/2。现保持夹角α不变，在竖直平面内将重物逆时针向右上方缓慢拉起，直到OM被拉至水平状态。缓慢拉起过程中，绳OM和MN上的张力大小和方向会发生变化，重物的合外力始终为0，处于动态平衡状态。

1.2 作图法：力学三角形外接圆

如图2（a）所示，重物被逆时针缓慢拉起的过程中，力FOM和FMN的合力跟重物的重力G大小相等、方向相反，合外力为0且处于动态平衡状态。这三个共点力可以构成一个封闭的矢量三角形+MN+OM=0，且有一个外接圆，如图2（b）所示。

在力学三角形中，重力G是恒力，且对角保持不变。在力学三角形的外接圆中，重力G对应的弦保持不变，其所对的圆周角π-α都相等。重物被缓慢拉起的过程中受到的合外力为零，直至OM被拉到水平，其力学三角形的动态变化如图3所示。可以看出，力FOM呈现出先增大后减小的趋势，而力FMN从0逐渐增加至最大值，两力的最大值均等于外接圆的直径，即FMAX=G/sinα。

1.3 正弦定理

在如图4所示的力学三角形中，由正弦定理可得：==。重物被缓慢拉起时，G和θ3保持不变，θ1逐渐增大到90°，θ2逐渐减小为锐角。因此，FMN随着sinθ1的增加而逐渐增至最大值G/sinα。同时，FOM的大小随着sinθ2的变化先增大后减小。

2 基于GeoGebra软件的数值模拟分析

重物合外力为0时，FOM、FMN和G满足余弦定理：G=F+F-2FFcos（π-α），即G=F+F+2FFcosα（α>π/2，且保持不变）。打开GeoGebra软件，令x=FMN，y=FOM，G=1 N，建立数值滑动条α（设置90°<α<180°，增量为10°），在输入框中输入方程x2+y2+2xycosα=1/（x>0），软件会自动精确绘制其图像，如图5所示。可以看出，力FMN存在最大值G/sinα。力FOM随着力FMN的增加先增大后减小，具有极大值。

如图6（a）（b）（c）所示，取α=150°为例，相同大小的FMN对应2个不同数值的FOM，对应图5（d）中的FOM-FMN变换关系。在图6（d）中，当FMN增加到最大值G/sinα时，OM从竖直被拉至水平，FOM具有唯一值，与图5（d）中FMN的极大值对应。

3 基于DIS的实测数据分析

利用图7所示的DISLab装置，将两个力学传感器分别接入数据采集器，并固定在实验器挂臂上，传感器测钩指向实验器力矩盘的圆心。逆时针缓慢转动两个力学传感器，保持其夹角α=120°，记录传感器每次转动时的拉力值，如表1所示。

在Excel工作表中输入并选中表1的实验数据（FMN，FOM），点击菜单“插入—图表—散点图”，软件就会自动画出数据的散点图。选定散点图，右键选择“添加趋势线”，选定“多项式、显示公式与显示R的平方值”三项，就会得到实测数据的非线性拟合图，如图8所示。可以看出，重物被缓慢拉起的过程中，随着FMN的增大，FOM先增后减。

4 结 语

共点力的动态平衡问题是高中力学教学的重点与难点，也是力学体系研究方法与解题思路的综合呈现。本文结合GeoGebra软件与DIS数字化实验，对该问题进行了有效解析，促进了STEM理念与高中物理教学的有效结合。

参考文献：

［1］章益.解决共点力平衡问题的策略探究［J］.数理天地，2024（1）：29-30.

［2］韩旭艳.基于核心素养的问题导引物理课堂教学探索——以“共点力平衡在生活中的应用”为例［J］.物理教学探讨，2023，41（12）：15-18.

［3］张鸣.“探究共点力平衡条件”实验的创新设计［J］.中小学实验与装备，2023，33（1）：55-56.

［4］赵屹峰.学历案视域下的教学活动设计——以“共点力的平衡”为例［J］.物理教师，2023，44（4）：28-30，34.

［5］程昕蕾.共点力作用下动态平衡模型的处理方法［J］.中学物理教学参考，2022，51（8）：60-62.

［6］覃华化.基于核心素养的“共点力的平衡”教学设计［J］.物理之友，2022，38（5）：27-28，37.

［7］谭志刚.共点力平衡问题中可以忽略重力的一类情况［J］.中学物理教学参考，2022，51（2）：62-63.

［8］胡惠琪，刘健智，姚寒青.“共点力的平衡”教学设计［J］.物理教学探讨，2022，40（3）：33-37.

［9］边伟.重视例题教学 形成物理观念——以“共点力的平衡”例题教学为例［J］. 中学物理教学参考，2022，51（10）：15-16.

［10］吴园园，高燕.高中物理“共点力的平衡”新旧教材比较研究——以人教版教材为例［J］.物理教学探讨，2021，39（7）：19-21，27.

（栏目编辑 贾伟尧）