拉船模型中推理矛盾与条件分析

摘 要：根据拉船模型的动力学特征，深入探讨了小船加速度的分析方法，抓住学生理解中的困惑点，对比合成与分解法的准确使用，通过对运动条件与运动形式的分析，体会微元法、极值法的应用，帮助学生提升物理学习中的辨析能力，培养科学思维的良好品质。

关键词：拉船模型；动力学分析；力的合成与分解；运动的合成与分解

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）10-0069-4

收稿日期：2024-05-22

基金项目：河北省教育科学“十四五”规划2023年度教师发展研究专项课题“高中物理教学中渗透科学方法教育的有效途径研究”（2308019）。

作者简介：宋禹洲（1974-），男，中学高级教师，主要从事中学物理教学和教育工作。

在高中物理教学中，拉船模型是一个经典的力学问题，它涉及到力的合成与分解以及运动的合成与分解等核心概念。拉船模型的研究不仅对理解力学原理具有重要意义，而且在工程实践和日常生活中也有广泛的应用。通过深入剖析这一模型，我们可以更好地理解力的作用方式，理解物体的运动与力的关系。

1 拉船模型中问题的提出与描述

在拉船模型问题中，涉及到运动的合成与分解问题和力的合成与分解问题，笔者根据实际教学，将教学中遇到的问题和争议分类分析，力图解决学生学习中的疑惑。

物理情境原型 如图1所示，用一根不可伸长的细绳绕过光滑的小滑轮拉水中的小船，如果人拉绳的速度恒为v，当绳子与水面的夹角为θ 时，船速是多少？

通常的做法是，根据船运动为合运动，从图1中可以看出小船的速度方向是水平的，根据运动情境可以将小船的速度分解为沿绳运动的速度和垂直于绳运动的速度，如图2所示。

2 对人匀速运动情况下小船运动的分析与讨论

问题1 根据上述船速公式分析，小船在靠岸过程中，船速怎么变化，小船做何种运动？

分析 根据船速表达式分析可知，随着船向岸边靠近，图中θ逐渐增大，余弦函数在90°以内为减函数，故小船应做加速运动。根据上述结论可知，小船在速度逐渐增大的过程中，当θ→90°时，cosθ→0，小船运动到接近小滑轮的正下方，此时船速应趋于无穷大。

如果上述分析合理，那么小船的加速度应该怎样变化？现对小船加速度大小的变化分三种可能进行分析。

（1）假设小船加速度不变，即小船做匀加速直线运动。对船的运动采用极限法分析可知，当船与河岸有一定距离时，匀加速的结果不可能是无限大的速度，因此加速度会改变。此外，根据小船速度与角度的关系也容易分析出速度不可能均匀变化。

（2）若小船做加速度逐渐减小的加速运动，采用极限法分析可知，小船最终会获得稳定速度（收尾速度），而不会是无限大速度。

（3）若小船做加速度逐渐增大的加速运动，运动速度就有可能趋于无穷大，与之对应的加速度也应该是无限大值。

根据速度变化规律可知，上述三种方式中第三种运动方式合理，即小船做加速度逐渐增大且到小滑轮下方时为无穷大的加速运动。

对小船靠岸过程进行受力分析，如图3所示，在水平方向上应有Tcosθ-Ff = ma，现分析理想情况，不考虑水的阻力，则小船前进的动力应为细绳拉力的水平分力，即Tcosθ=ma。当小船到达河岸时，绳子与水平方向垂直，绳子拉力在水平方向的分量为0，考虑理想情况，小船的加速度必然为0。从力的合成与分解角度看，小船做加速度逐渐减小的加速运动，这与运动的合成与分解分析结论相反。

这两种分析方法应该都有一定道理，但是得到的结论却完全相反，问题出在哪里呢？这是很多学生在采用极限法分析后无法理解的地方。为解释清楚这个问题，根据高中物理中运动的合成与分解原理，结合微元法思想，从不同角度求出小船在人匀速拉动绳子时的小船加速度值。

方法一 如图4所示，在小船运动到细绳与水平方向成θ角时，取运动的极短时间Δt，小船从图中A处运动到B处，细绳与船行方向夹角由θ增加为θ+Δθ，在Δt内小船的速度变化量为Δv，小船与滑轮所在处高度差为h，滑轮到小船的距离为l。

由船速和绳速的关系，小船在A处和B处的速度依次为vA=和vB=vA+Δv=，对vB进行数学处理得

vB==

当Δt→0时，Δθ→0，cosΔθ=1，sinΔθ=Δθ，则

vB=

Δv=vB-vA，即

Δv= - =

根据加速度定义式

a==

在极短时间Δt内，Δθ·Δt属于高阶无穷小量，上式中Δθ·Δt·sinθ·cosθ可以忽略，则

a===

·=·ω

其中，ω为在A处时，速度在垂直细绳方向上的分运动——圆周运动的角速度大小，ω====

代入上式得

a=·==

分析可知，若保持v不变，h为定值，随着θ增大，小船做加速度逐渐增大的加速运动是合理的，且在θ→90°时，a趋近于无穷大。

方法二 如图5所示，在人以v匀速拉绳时，小船在A处时速度为vA，根据速度的合成与分解原理，两个分速度分别为沿着绳子收缩方向的速度v和垂直v方向的圆周运动的分运动速度v。同时，在绳子方向上有因为圆周运动的分运动v对应的向心加速度an=。在A处，v=vtanθ，h=lsinθ，故an===，因为绳子收缩速度大小保持不变，因此沿绳方向上的加速度只有小船垂直绳子的分运动——圆周运动的向心加速度，即a=an，a=acosθ，因此a==，代入后整理可得a=。可见，小船做的是加速度增大的加速运动。

上述两种方法都可以得到同样的结论，即小船做加速度增大的加速运动，据此分析靠岸时刻的加速度确实是无限大的。

现结合小船运动的加速度求细绳拉力大小。由于小船加速的动力来源于绳子拉力的水平分力，在理想情况下绳子拉力理论上应为F==。分析可知，当θ→90°时，拉力应为无穷大值，这显然是不可能的。这样大的拉力，小船实际上也无法保持还在水面运动，而是会被巨大拉力拉离水面。显然，小船做加速度增大的加速运动实际上是不可能的。

分析小船的运动过程我们就会发现，实际上造成这个结果的直接原因就是运动的合成与分解法的分析前提是假设人拉绳子时保持不变的速度。实际上，当人在匀速拉船时，在不考虑功率损失的情况下，人的拉力功率实际上也就是细绳拉船时的拉力功率

P=Tv=mav=v=

分析可知，随着θ增大，所需拉力逐渐增大，拉力的功率增大，当θ→90°时则趋于无穷大。任何机械的功率都存在最大值，因此该功率实际上不会满足。其次，从运动的分解与合成看，小船到达滑轮正下方时，绳子从滑轮到小船距离最短，假如小船还可以前进，则绳子从滑轮到小船部分将会变长，可见此处应是绳子最短的位置，那么人拉绳的速度必然是0，故人的拉力功率也只能是0。由此说明，此时的绳子速度只能为0，显然人无法实现始终匀速拉船。因而，小船的加速运动是建立在可实现人匀速拉船的前提下的。

在人仍能做到匀速拉绳的阶段且拉力功率增大过程中，设人拉船的最大功率为Pm，细绳拉力的功率为P，则有P=≤Pm。由此可知，在小船质量m、人拉船的速度v、滑轮距离水面的高度h一定的条件下，绳速一定时，存在一个最大角度值θm，此角度满足表达式为Pm=，即角度满足=，此角度对应值为人能匀速拉绳的最大角度θm，此后人就无法实现此前的匀速拉绳，若功率保持不变，则绳子速度必然减小。

3 形成条件与结论

通过分析可以得出，当人匀速运动时，小船运动的情况并不适用于小船运动到河岸的整个过程，而是在满足功率不超过最大功率的一段过程，当小船距离河岸较近时并不适用。这样就解释了当小船到达河岸正下方时按照运动的合成与分解法和力的合成与分解法两种不同分解方法而得到矛盾的结论。通过分析可得出，小船在绳子与水平方向夹角较小阶段可以维持细绳匀速拉动小船做加速运动，随着小船速度增大，细绳拉力增大，需要的动力功率增大，当达到额定功率（机械运动条件下的最大功率）时，拉绳速度只能减小，在小船无阻力运动的理想条件下，当小船运动到河岸时，细绳速度减为0，细绳应无拉力，需要注意的是这个时刻小船速度可以不是0。

4 结 语

高中物理中处理拉船模型的重点要求是掌握绳子速度和小船速度的牵连关系，关于小船加速度的理解基本上都是回避的。但是，在实际教学中发现，虽然运动的合成与分解以及力的合成与分解都遵循矢量运算法则，因本问题的分析中学生经常将运动的合成与分解与力的合成与分解混淆，从而导致“在船速的分解中经常想当然地认为绳子速度应该分解到水平方向（对应于船速）和竖直方向”的情况发生。对于小船加速度的深入讨论可以帮助学生深刻理解两者的不同，特别是两种分析得到矛盾结论时，不回避矛盾，深度分析后反而给学生提供了实证，培养了学生在物理学习中的严谨作风和求实态度。此外，本问题的分析中对微元法、极限法的合理使用，对于学生掌握微元法思想很有意义，对于培养学生的高阶思维能力大有帮助。

在物理教学中，教师善于抓住教学契机，从已有问题入手，拓展问题，利用问题推进教学，对于学生科学思维能力的培养大有裨益。爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要”。可见，用问题导向思维，层层深入分析，提升学生综合分析能力，也是落实物理核心素养目标的具体表现。

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（栏目编辑 蒋小平）