巧建惯性参考系解决反冲类问题

摘 要：教材不仅是核心知识的载体，更有很多素材为学生深度学习和高阶思维的培养埋下了“伏笔”。以人教版“反冲现象 火箭”一节为例，结合教材正文、课后习题、教参解答等素材进行重新加工、拓展迁移，从而促成高中阶段学生对火箭发射及动量守恒问题的深度学习。

关键词：惯性参考系；动量守恒；反冲现象

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）10-0018-3

收稿日期：2024-07-23

作者简介：吴晓明（1981-），男，中学高级教师，主要从事高中物理教学工作。

我国早在宋代就发明了火箭，并在航空航天、火箭等技术方面取得了举世瞩目的成就。人教版高中物理选择性必修一教材第一章第6节中从动量守恒定律的视角讲述了火箭发射的基本原理——反冲现象。它既涵盖了核心知识的学习，同时又是学生情感态度价值观培养的良好载体，并且课本正文也为学生高阶思维的培养即惯性参考系的转换埋下伏笔。本文从教材正文的启发、课后习题的拓展、模型理解的深化三个角度对其进行重构，彰显对核心知识的深度复习，突出科学思维能力的进阶培养，进一步提升高中阶段学生对火箭升空问题的认知。

1 课本正文，醍醐灌顶

课本正文部分点明建立合适的惯性参考系，研究火箭喷射燃料后获得的速度增量问题。

例1 （课本原文呈现）设火箭飞行时在极短时间Δt内喷射燃气的质量为Δm，喷出的燃气相对喷气前火箭的速度为u，喷出燃气后火箭质量为m。我们可以计算出火箭在这样一次喷气后增加的速度Δv。［1］

以喷气前的火箭为参考系。喷气前火箭动量为0，喷气后火箭动量为mΔv，燃气动量为Δmu。根据动量守恒定律，喷气后火箭与燃气的总动量仍然为0，所以

mΔv+Δmu=0 （1）

解出

Δv=-u（2）

这里取的参考系已经不局限于地面这个常见的惯性参考系。在该参考系下，计算燃料燃烧后火箭获得的速度增量明显更为方便。为此，本文重点都在非地面的惯性参考系下解决问题，有时候可以带来意想不到的收获。在教学中，需要学生理解这一做法的正确性和必要性，这也非常有利于学生核心素养的培养。我们分别以本节课后两道练习题为例来阐释。

2 课后练习一，相辅相成，一题多解

例2 用火箭发射人造地球卫星，假设最后一级火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以v=7×103 m/s的速度绕地球做匀速圆周运动。已知卫星的质量为m0=500 kg，最后一级火箭壳体的质量为m=100 kg。某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时卫星与火箭壳体沿轨道切线方向的相对速度为u=1.8×103 m/s。试分析计算：分离后卫星的速度是多大？火箭壳体的速度是多大？［1］

2.1 解法一（教师教学用书解法）

设分离后卫星与火箭壳体相对地面的速度分别为v1、v2，分离时系统在轨道切线方向上动量守恒，有［2］

（m0+m）v=m0 v1+mv2（3）

且卫星与火箭壳体的相对速度

u=v1-v2=1.8×103 m/s（4）

解得v1=7.3×103 m/s，v2=5.5×103 m/s

2.2 解法二（转换参考系）

取分离前瞬间，火箭壳体和卫星为参考系，且该时刻速度方向为正方向。

分离后卫星与火箭壳体相对该参考系的速度分别为v1'、v2'，分离时系统在轨道切线方向上动量守恒，且系统总动量为0，则

0=m0 v1'+mv2'（5）

又卫星与火箭壳体的相对速度

u=v1'-v2'=1.8×103 m/s（6）

解得v1'=0.3×103 m/s，v2'=-1.5×103 m/s

所以，在地面参考系下

v1=v1'+v=7.3×103 m/s，v2=v2'+v=5.5×103 m/s

解决该问题时，学生往往会采用解法一，因为该解法使用公式更少、更方便。强调此题的两种解法是为了帮助学生熟悉转换惯性参考系解决问题的思路，同时也说明了不同惯性参考系下动量守恒定律的普遍适用性，为以后通过转换不同的惯性参考系来解决复杂问题奠定基础。

3 课后练习二，对比显著

例3 一个士兵坐在皮划艇上，他连同装备和皮划艇的总质量为M=120 kg。这个士兵用自动步枪在2 s内沿水平方向连续射出10发子弹，每发子弹的质量为m0=10 g，子弹离开枪口时相对步枪的速度为u=800 m/s。射击前皮划艇处于静止状态，不考虑水的阻力。［1］

（1）每次射击后皮划艇的速度改变多少？

（2）连续射击后皮划艇的速度多大？

3.1 解法一（教师教学用书解法）

（1）取子弹射出的反方向为正方向［2］。

设第1发子弹射出后皮划艇的速度大小为v1，由动量守恒定律可知

0=（M-m0）v1+m0（v1-u）（7）

解得v1=u

设第2发子弹射出后皮划艇的速度大小为v2，由动量守恒定律可知

（M-m0）v1=（M-2m0）v2+m0（v2-u）（8）

解得v2-v1=

设第3发子弹射出后皮划艇的速度大小为v3，由动量守恒定律可知

（M-2m0）v2=（M-3m0）v3+m0（v3-u）（9）

解得v3-v2=

……

若第10发子弹射出后皮划艇的速度大小为v10，由动量守恒定律可知

（M-9m0）v9=（M-10m0）v10+m0（v10-u）（10）

解得v10-v9=

通过归纳得出，射出n发子弹，每次射击后皮划艇速度的改变量

Δv== m/s（11）

（2）连续射击10次后，可得

v10=++…+=0.67 m/s

该解法虽然比较清晰地将每发子弹的射出过程展现出来，但是代数运算比较繁琐，有没有较为简洁的求解方法呢？不少教师可能担心学生能力跟不上，从而避而不谈。其实，在上个例题分析清楚的情况下，我们完全可以通过巧取惯性参考系的方法来解决该问题。

3.2 解法二（转换参考系）

（1）设皮划艇、枪（含子弹）及人构成的系统的质量为M，每发子弹的质量为m0，子弹相对步枪的速度大小为u。以（n-1）发子弹射出后皮划艇后退的速度为参考系。当枪再打出第n发子弹后，子弹m0的速度为v0，皮划艇后退的速度为v'n，因为参考系选得巧妙，这里皮划艇后退的速度v'n就是我们需要求解的射出第n发子弹后皮划艇速度的改变量Δv。

由动量守恒定律（总动量为0）可得

（M-nm0）v'n+m0v0=0（12）

由相对速度公式可知

v'n-v0=u（13）

联立两式解得

v'n=Δv== m/s（14）

（2）连续射击10次后，可得

v10=∑Δv= m/s=0.67 m/s（15）

解法二计算结果与解法一相同，但是计算量却大大减少，由此可见，选取合适的惯性参考系，是高效解决动量守恒定律问题的关键。

4 延伸拓展，万法归一

火箭模型中，气体的喷射并不像前面所处理例题中子弹一颗颗发射那样，火箭气体的喷射具有连续性，对于这样一个实际问题，又该如何处理呢？我们不妨抓住主要矛盾，建立一个理想化的火箭模型来分析。

例4 近代火箭是利用把燃料燃烧后的废气逐渐向外喷出的办法来增加火箭自身的运动速度。设喷出废气的相对速度沿物体轨道切向，且为一个常量u；火箭在运行中不受任何外力作用；火箭起始质量为M，空火箭质量为ms，求当燃料烧完时，火箭能够达到的速度。［3］

根据变质量物体的基本运动微分方程（密舍尔斯基方程），可知［4］

m=-u（16）

利用初始条件，两边积分

=-（17）

当燃料烧完时，火箭能够达到的速度为

v=uln（18）

从代数形式上来看，（15）式与（18）式有巨大的差异，但是如果我们将火箭喷射气体的过程无限细分之后，可以看成一小份一小份气体被火箭接连喷出，这时一份一份的气体和上述例题中枪射出的一发一发子弹有极大的相似性。我们不妨大胆地将（18）式代入上述例3中，看看会有什么新的发现。

v=uln=800×ln=

0.666 944 599 m/s

由（15）式计算出

v10==0.666 916 799 m/s

对比可知Δv1=v-v10=2.78×10-5 m/s

二者还是有细微差距，为了寻找其中的原因，我们不妨将例3中单发质量m0=10 g的10发子弹，重新加工成单发质量m'0=1 g的100发子弹，前后两种情况下子弹总质量相同，并让每发子弹仍以相同的相对速度u=800 m/s射出枪口，则根据例3解法二可知，100发子弹射击完成1zL59Gr5ZuJAHnfN4WyszfemdM8nyCqpcNvwJn6JBY8=后，皮划艇的速度

v===0.666 941 819 m/s

此时Δv2=v-v100=2.78×10-6 m/s

以此类推，再将总质量相同的子弹加工成单发质量m"=0.1 g的1000发子弹，并让每发子弹仍以相同的相对速度u=800 m/s射出枪口，则1000发子弹射击完成后，皮划艇的速度

v==

=0.666 944 321 m/s

此时Δv3=v-v1000=2.779×10-7 m/s

非常明显Δv1>Δv2>Δv3，总质量相同的子弹，随着细分的数量不断增加，其计算结果也越来越接近由微分方程分析变质量物体所解得的数学结果。

由此可见，针对火箭反冲类问题的定量研究，高中物理学习体系中，由于缺乏高等数学相关工具的支撑，火箭发射类连续变质量问题的求解往往难以下手。退而求其次，将诸如例3的枪一发接着一发打出子弹、平板车上一个人接着一个人跳离车面等简化版的问题，作为火箭类问题的替代品呈现在学生面前，此类问题利用中学阶段简单的数学知识就可以定量完成求解，同时由于牵涉到的个体数量众多，以地面为参考系，代数计算量过大，我们可以不停地转换参考系，以此来简化计算。

5 总结与展望

高中物理学习中，各种物理模型是良好的学习素材，教师可以选择合适的模型，带领学生从物质、运动、相互作用及能量等角度，运用模型建构思维方式解决问题，从而全面提升学生物理学科核心素养。教师也需要不断研读课本以及教师用书，适当补充竞赛以及大学普通物理的知识，拓宽自身视野，必要时可以从多维度帮助学生解决问题。

参考文献：

［1］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理选择性必修第一册［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书物理选择性必修第一册［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2018.

［4］舒幼生.力学［M］.北京：北京大学出版社，2005.

（栏目编辑 赵保钢）